Enunciado

Determine beta para que y = beta x - 2 seja tangente ao gráfico de f (x) = x^3 - 4 x .

Passo 1

Olá, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa questão vamos lembrar que a equação da reta tangente é dada por,

y - f (x_0) = f^' (x_0) (x - x_0)

Deste modo, para que y = beta x - 2 seja tangente a f , a derivada no ponto de tangência deve ser igual ao da reta, ou seja:

f^' (x) = beta

Derivando f (x) ficamos com,

f^' (x) = 3 x^2 - 4 x

Logo,

3 x^2 - 4 = beta

Encontramos uma relação para beta ,mas ainda precisamos juntar mais alguns pontinhos para resolver essa questão.

Passo 2

Além disso, no ponto de tangencia, o valor de y na reta e na função são iguais:

beta x - 2 = x^3 - 4 x E q u a ç ã o 1

Se já sabemos que 3 x^2 - 4 = beta , podemos multiplicar todos os termos por x

3 x^2 - 4 = beta

3 x^3 - 4 x = beta x E q u a ç ã o 2

Assim, somando as equações 1 e 2 :

beta x - 2 + 3 x^3 - 4 x = x^3 - 4 x + beta x

- 2 + 3 x^3 = x^3

2 x^3 = 2

x^3 = 1

x = 1

Passo 3

Isso significa que o ponto de tangência ocorre no ponto de abcissa 1 , e como a derivada no ponto de tangência deve ser igual ao coeficiente angular da reta tangente:

f^' (x) = beta

3 x^2 - 4 = beta

Substituindo x = 1

3 (1)^2 - 4 = beta

beta = - 1

Resposta

beta = - 1

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