Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 67
O custo marginal de fabricação de metros de um certo tecido é (em dólares por metro). Ache o aumento do custo se o nível de produção for elevado de para metros.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que o custo marginal (em dólares/metro) de fabricação de metros de um certo tecido é dado pela seguinte função:
Queremos encontrar o aumento do custo se o nível de produção for elevado de para metros.
Para isso, podemos usar o Teorema da Variação Total para resolver essa questão :
Agora bora aplicar!! 😉
Passo 2
Veja bem, o aumento do custo do nível de produção, de para metros é dado substituindo os valores na fórmula acima, como queremos o aumento de para metros, esses serão os limites de integração:
Temos como calcular a parte do lado esquerdo da expressão, calcular a integral, então vamos lá:
Passo 3
Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:
Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Passo 4
Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:
E
E
Passo 5
Pronto, já encontramos a integral indefinida, perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Ficamos então com:
Resposta
O aumento do custo se o nível de produção for elevado de para metros é de .