Enunciado

O custo marginal de fabricação de x metros de um certo tecido é C ' x = 3 - 0,01 x + 0,000006 x 2 (em dólares por metro). Ache o aumento do custo se o nível de produção for elevado de 2   000 para 4   000 metros.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que o custo marginal (em dólares/metro) de fabricação de x metros de um certo tecido é dado pela seguinte função:

C ' x = 3 - 0,01 x + 0,000006 x 2

Queremos encontrar o aumento do custo se o nível de produção for elevado de 2   000 para 4   000 metros.

Para isso, podemos usar o Teorema da Variação Total para resolver essa questão :

∫ a b F ' x d x = F b - F a

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Veja bem, o aumento do custo do nível de produção, de 2   000 para 4   000 metros é dado substituindo os valores na fórmula acima, como queremos o aumento de 2   000 para 4   000 metros, esses serão os limites de integração:

∫ 2000 4000 C ' x d x = C 4000 - C 2000

Temos como calcular a parte do lado esquerdo da expressão, calcular a integral, então vamos lá:

∫ 2000 4000 C ' x d x

= ∫ 2000 4000 3 - 0,01 x + 0,000006 x 2   d x

= ∫ 2000 4000 3   d x + ∫ 2000 4000 - 0,01 x   d x + ∫ 2000 4000 0,000006 x 2   d x

Passo 3

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ 3 - 0,01 x + 0,000006 x 2   d x = ∫ 3   d x + ∫ - 0,01 x   d x + ∫   0,000006 x 2   d x

Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

∫ k d x = k x + C

Passo 4

Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:

∫ 3   d x = 3 x + C

E

∫ - 0,01 x   d x

= - 0,01 ∫ x   d t

= - 0,01 ∙ x 1 + 1 1 + 1

= - 0,01 x 2 2

= - 0,005 x 2 + C

E

∫ 0,000006 x 2 d x

= 0,000006 ∫ x 2 d x

= 0,000006 ∙ x 2 + 1 2 + 1

= 0,000006 x 3 3

= 0,000002 x 3 + C

Passo 5

Pronto, já encontramos a integral indefinida, perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

∫ 2000 4000 3   d x + ∫ 2000 4000 - 0,01 x   d x + ∫ 2000 4000 0,000006 x 2   d x

= 3 x - 0,005 x 2 + 0,000002 x 3 2000 4000

= 3 ∙ 4000 - 0,005 ∙ 4000 2 + 0,000002 ∙ 4000 3 - 3 ∙ 2000 - 0,005 ∙ 2000 2 + 0,000002 ∙ 2000 3

= 60000 - 2000

= 58000

Resposta

O aumento do custo se o nível de produção for elevado de 2   000 para 4   000 metros é de $   58   000 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral:34) ∫ 0 3 ( 2 s e nx - e x ) . d x
Calcule a integral:29) ∫ 1 9 x - 1 x . d x
Calcule a integral:37) ∫ 0 1 ( x e + e x ) . d x
Calcule a integral e interprete-a como uma diferença de áreas. Ilustre com um esboço.54) ∫ π 6 2 π cos ⁡ x . d x
Calcule a integral:39) ∫ 1 3 3 8 1 + x ² . d x ²