14. x^2 = y^3 de P_0(0, 0) até P_1(8, 4) .

Passo 1

Nós devemos encontrar o comprimento da curva dada.

 Nós temos:

x 2 = y 3

y = x 2 3

d y d x = 2 3 x - 1 3

Passo 2

Agora prosseguimos da seguinte maneira:

1 + d x d y 2 = 1 + 2 3 x - 1 3 2

= 1 + 4 9 ( x - 2 3 )

Passo 3

Agora, usaremos a fórmula do comprimento da curva. Entretanto, temos que observar que estamos integrando em relação a variável x, por isso, pegamos os intervalos de integração em função de x.

x , y = 0 , 0 → ( 8 , 4 )

Assim, temos o intervalo de 0   a   8 .

s = ∫ 0 8 1 + 4 9 ( x - 2 3 )   d x

= ∫ 0 8 1 + 4 9 x 2 3   d x

= ∫ 0 8 9 x 2 3 + 4 9 x 2 3   d x

= ∫ 0 8 1 3 x 1 3 9 x 2 3 + 4 1 2   d x

Vamos resolver utilizando integrais por partes, tendo:

u = 9 x 2 / 3 + 4

d u = 9 ⋅ 2 3 x - 1 3 d x

Assim,

1 18 ∫ u 1 2 d u

Portanto,

= 1 18 . u 3 2 3 2

= 1 27 u 3 2

Voltando com a variável x

= 1 27 . 9 x 2 / 3 + 4 3 2 0 8

= 1 27 40 40 - 4 4

= 1 27 ( 80 10 - 8 )

Resposta

Portanto, o comprimento da curva é 1 27 80 10 - 8 .

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