∫ - 3 - 2 t - 1 t 2   d t  

Passo 1

Nessa questão não precisa ter nenhuma grande sacada para resolver, a ideia vai ser a mais simples possível que é abrir o quadrado, mas antes disso vamos relembrar como fica

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2

Passo 2

No caso da nossa questão vai ficar :

t - 1 t 2 = t 2 - 2 + 1 t 2

Passo 3

Substituindo na nossa integral ficamos com

∫ - 3 - 2 ( t 2 - 2 + 1 t 2 ) d t  

Agora usamos nossa regra

∫ b a f x + g ( x ) d x = ∫ b a f ( x ) d x +   ∫ b a g ( x ) d x

E ficamos com

∫ - 3 - 2 ( t 2 - 2 + 1 t 2 ) d t =   ∫ - 3 - 2 ( t 2 ) d t -   ∫ - 3 - 2 2 d t +   ∫ - 3 - 2 1 t 2 d t  

∫ - 3 - 2 ( t 2 ) d t -   ∫ - 3 - 2 2 d t +   ∫ - 3 - 2 1 t 2 d t = t 3 3 - 2 t - 1 t ​ - 3 → - 2 = 9 2

Resposta

∫ - 3 - 2 t - 1 t 2   d t = 9 2  

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