Enunciado

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Determine o valor, ou valores, de c que satisfazem a equação:

f b - f a b - a = f ' ( c )

Que consta da conclusão do teorema de valor médio para

f x = x 2 3 ,       [ 0,1 ]

Passo 1

Primeiro, substituiremos os valores na fórmula de valor médio.

Em seguida, derivaremos a função dada e igualaremos ao valor encontrado no passo anterior.

Terminado isso, concluiremos os valores para os quais a equação é satisfeita.

Passo 2

Substituindo os valores do intervalo na função, temos:

f 0 = 0 2 3 = 0

f 1 = 1 2 3 = 1

Substituindo na fórmula de valor médio:

f 1 - f 0 1 - 0

1 - 0 = 1

Passo 3

Resolvendo a derivada, temos:

f ' x = 2 3 x - 1 3

Para o valor médio teremos:

2 3 x - 1 3 = 1

x - 1 3 = 3 2

1 x   3 = 3 2

3 x 3 = 2

x = 2 3 3 = 8 27

O valor médio que satisfaz o teorema do valor médio é c = 8 27 .

Resposta

c = 8 27

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