Enunciado

dois vetores tangentes unitários à trajetória de partícula em t = t1. Trace um esboço da trajetória da partícula e represente geometricamente os vetores V(t1) e A(t1).

Passo 1

Dada da função vetorial da posição

σ t = 1 , t - 1 , t 2 + 1

e t 1   =   2 , podemos encontrar a velocidade e aceleração a partir da função vetorial da posição aplicando derivadas. Olha:

σ t = 1 , t - 1 , t 2 + 1

σ ' t = V t = 0,1 , 2 t

σ ' ' t = A t = 0,0 , 2

Passo 2

Pra encontrar um vetor tangente à trajetória, a gente pode derivar nosso vetor posição fornecido pelo enunciado. Mas repara que a derivada da posição em função do tempo é a própria velocidade. Então, temos que

σ ' t = V t g t = 0,1 , 2 t

e aplicado no ponto t1, temos que

σ ' 2 = V t g 2 = 0,1 , 2 ⋅ 2 = 0,1 , 4

Então, o vetor

0,1 , 4

é um vetor tangente à trajetória. Mas calma!! O enunciado pede vetores que sejam tangentes e unitários… Pra gente fazer um vetor se tornar um vetor unitário, a gente pode dividi-lo pelo seu próprio módulo. Assim:

0,1 , 4 0 2 + 1 2 + 4 2 = 0,1 , 4 17

Mas o enunciado pede dois vetores tangentes unitários… Mas pra gente achar outro, podemos malandramente multiplicar esse por - 1 .

V t g 1 = 0 , 1 17 , 4 17    

V t g 2 = 0 , 1 17 , 4 17

Pronto! Agora temos dois vetores tangentes unitários à trajetória. São eles:

0 , 1 17 , 4 17 ,   0 , - 1 17 , - 4 17

Passo 3

Agora bora esboçar a trajetória da partícula. A função vetorial da trajetória é essa aqui:

σ t = 1 , t - 1 , t 2 + 1

E se a gente desparametrizar, vai ficar assim:

x , y , z = 1 , t - 1 , t 2 + 1

x = 1

y = t - 1

z = t 2 + 1

t = y + 1

z = y + 1 2 + 1 = y 2 + 2 y + 2

Então a gente pode concluir que no plano Y Z , o movimento da partícula é uma parábola. Além disso, também sabemos que x   =   1 , uma constante. Então, nosso esboço fica assim:

Agora só falta a gente representar geometricamente os vetores V ( t 1 ) e A ( t 1 ) nesse esboço. A partícula tá sendo representada pelo objeto A ali!

Passo 4

Aplicando as funções vetoriais da velocidade e da aceleração em t 1 :

V t 1 = 0,1 , 4

A t 1 = 0,0 , 2

E juntando-os ao nosso lindo esboço, fica assim

Onde a seta verde e a azul representam, respectivamente, os vetores V ( t 1 ) e A ( t 1 ) .

Resposta

0 , 1 17 , 4 17 ,   0 , - 1 17 , - 4 17

e

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