Enunciado

Dê o domínio e esboce o gráfico.

(f) y = sqrt(1 - (x + 2)^2)

Passo 1

Olá, tudo bem? Antes de tudo, vou começar determinando a equação implícita:

y = sqrt(1 - (x + 2)^2)

Elevando os dois lados ao quadrado:

y^2 = 1 - (x + 2)^2

E trazendo ( x + 2 )^2 para o lado esquerdo temos:

( x + 2 )^2 + y^2 = 1

Ah! Saca só porque eu comecei fazendo isso: essa equação se parece com o que? Não é do tipo:

(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2

É sim! E essa é a equação de uma circunferência na sua forma reduzida =D

Os valores de x_c e y_c fornecem o centro do círculo e o R é o raio. No nosso caso esse círculo está centrado em ( - 2,0 ) e tem raio R = 1 . Como a função original é com a raiz positiva, então sabemos que queremos apenas a parte superior do círculo!

Passo 2

Beleza até aqui? Bom, agora que já sabemos o centro e o raio, ficou tranquilo de fazer o esboço do gráfico. Se você não lembra de alguma parte, não fica triste não! O Responde Aí tá aqui pra te ajudar! Dá uma espiadinha na parte de circunferência na nossa plataforma e retorna aqui!!

E o domínio? Bom, essa função não pode fornecer valores inválidos de y , então temos que o radicando deve ser sempre maior ou igual a zero:

1 - (x + 2)^2 >= 0

1 - (x^2 + 4 x + 4) >= 0

- x^2 - 4 x - 3 >= 0

x^2 + 4 x + 3 <= 0

Vamos analisar onde essa função é zero: x^2 + 4 x + 3 = 0 .

Essa é uma equação de segunda ordem com a = 1 , b = 4 , c = 3 e vamos analisar seu sinal. Pela fórmula de Bhaskara temos:

x = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a) = (- 4 +- sqrt((4)^2 - 4.1 . 3))/(2) = (- 4 +- sqrt(4))/(2)

Então os valores que satisfazem essa equação são: x^' = - 1 e x^(' ') = - 3 . Entre esses valores a função assume valores negativos, que é a região de interesse.

Então os valores que satisfazem essa inequação são: - 1 <= x <= - 3 . E o domínio pode ser escrito dessa forma:

D = [ - 1 ; - 3 ]

Passo 3

Vamos ao esboço? Lemrbando que queremos a parte de cima da circunferência de raio 1 e centro ( - 2,0 ) temos:

Beleza? Vamos pra próxima?

Resposta

D = [ - 1 ; - 3 ]

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