13. (y - 1)^2 = (x + 4)^3 de P_0(-3,2) até P_1(0,9) .

Passo 1

Nós devemos encontrar o comprimento da curva dada.

 Nós temos:

y - 1 2 = x + 4 3

y = 1 + x + 4 3 2

d y d x = 3 2 x + 4 1 2

Passo 2

Agora prosseguimos da seguinte maneira:

1 + d x d y 2 = 1 + 3 2 x + 4 1 2 2

= 1 + 9 4 ( x + 4 )

Passo 3

Agora, usaremos a fórmula do comprimento da curva. Entretanto, temos que observar que estamos integrando em relação a variável x, por isso, pegamos os intervalos de integração em função de x.

x , y = - 3,2 → ( 0,9 )

Assim, temos o intervalo de - 3   a   0 .

s = ∫ - 3 0 1 + 9 4 ( x + 4 )   d x

Vamos resolver utilizando integrais por partes, tendo:

u = 1 + 9 4 ( x + 4 )

d u ⋅ 4 9 = d x

Assim,

= 4 9 ∫ - 3 0 u   d u

Portanto,

= 4 9 . u 3 2 3 2

= 8 27 u 3 2

Voltando com a variável x

= 8 27 . 1 + 9 4 x + 4 3 2 - 3 o

= 8 27 . 4 + 9 x + 36 3 2 - 3 o

= 8 27 . 40 + 9 x 3 2 - 3 o

= 8 27 ⋅ 10 3 2 - 13 4 3 2

= 80 10 - 13 13 27

Resposta

Portanto, o comprimento da curva é 80 10 - 13 13 27 .

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