Enunciado

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Encontrar um valor aproximado para a seguinte expressão :

0,995 4 + 2,001 3

Passo 1

Para resolver esse tipo de questão precisamos achar a equação do plano tangente em um determinado ponto, de modo que esse plano seja tangente a uma função que se assemelha a nossa expressão acima

f x , y = x 4 + y 3

Seja

F x , y , z =   x 4 + y 3 - z

Cálculo do vetor gradiente

∂ F ∂ x = 4 x 3

∂ F ∂ y =   3 y 2

∂ F ∂ y = - 1

∇ F x , y , z = ( 4 x 3 , 3 y 2 , - 1 )

No ponto em que x = 1 e y = 2, temos que z = 9. Esses pontos são escolhidos de modo a me possibilitar calcular os valores das expressões acima

∇ F 1 , 2 , 9 = ( 4 , 12 , - 1 )

A equação do plano tangente nesse ponto será:

x - 1 , y - 2 , z - 9 ∙ 4,12 , - 1 = 4 x - 1 + 12 ( y - 2 ) - z - 9 = 0    

Passo 2

Agora que temos a equação do plano tangente lembramos que ele tem aproximadamente os mesmos valores que nossa função tem para valores próximos do ponto de tangencia

Substituindo x = 0,995 e y = 2,001 na nossa equação do plano temos

4 0,995 - 1 + 12 ( 2,001 - 2 ) - z - 9 = 0     ⟹ z = 8,992

Resposta

8,992

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