Enunciado

Encontre f .

f^(' ' ') (t) = t - sqrt(t)

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar a função original f . Para isso, deveremos encontrar a antiderivada. Porém, a função apresentada é a terceira derivada da função f . Dessa forma, deveremos encontrar a antiderivada três vezes para chegar na função f .Utilizaremos para isso a tabela de antiderivadas da seção 4.9 .

Passo 2

Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de f^(' ' ') ( t ) . Para isso, utilizaremos a regra da potência, ficando com

f^(' ') ' (t) = t - sqrt(t)

f^(' ') (t) = (t^2)/(2) - (t^((3)/(2)))/((3)/(2)) + C = (t^2)/(2) - (2)/(3) t^((3)/(2)) + C

Derivando f ' ' ( t ) , temos

f^(' ' ') (t) = t - sqrt(t)

Dessa forma, f^(' ') ( t ) é a antiderivada de f^(' ' ') ( t ) . Fazendo novamente a antiderivada, mas em relação a f^(' ') (t) , temos

f^(' ') (t) = (t^2)/(2) - (2)/(3) t^((3)/(2)) + C

f^' (t) = (t^3)/(2.3) - ((2)/(3) t^((5)/(2)))/((5)/(2)) + C t + C_1 = (t^3)/(6) - (4)/(15) t^((5)/(2)) + C t + C_1

Passo 3

Derivando f ' ( t ) , temos

f^(' ') (t) = (t^2)/(2) - (2)/(3) t^((3)/(2)) + C

Dessa forma, f^' ( t ) é a antiderivada de f^(' ') ( t ) .

Agora, iremos encontrar a antiderivada de f^' ( t ) utilizando novamente a regra de derivação da potência. Dessa forma, temos

f^' (t) = (t^3)/(6) - (4)/(15) t^((5)/(2)) + C t + C_1

f (t) = (t^4)/(6.4) - ((4)/(15) t^((7)/(2)))/((7)/(2)) + (C t^2)/(2) + C_1 t + C_2 = (t^4)/(24) - (8)/(105) t^((7)/(2)) + (C t^2)/(2) + C_1 t + C_2

Derivando f ( t ) , temos

f^' (t) = (t^3)/(6) - (4)/(15) t^((5)/(2)) + C t + C_1

Dessa forma, encontramos nossa função f , onde C , C_1 e C_2 são constantes.

Resposta

f (t) = (t^4)/(24) - (8)/(105) t^((7)/(2)) + (C t^2)/(2) + C_1 t + C_2

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