Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.

y = 1 x ,   y = x ,   y = 1 4 x ,   x > 0

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos calcular a área da região delimitada utilizando a integração, iremos esboçar a região e desenhar um retângulo aproximante. Para isso, iremos utilizar a seguinte definição de área

Passo 2

Primeiramente, devemos encontrar a interseção das curvas. Para isso, iremos igualar as equações

y = 1 x

y = x

x = 1 4 x

Para 1 x = x , temos

1 x = x

x = ± 1

Para 1 4 x = 1 x , temos

1 4 x = 1 x

x = ± 2

Dessa forma, ou x = 1 ou x = 2 para x > 0 . Podemos esboçar a curva

Passo 3

Utilizando a definição do passo 1 , temos

A = ∫ 0 1 x - 1 4 x d x   + ∫ 1 2 1 x - 1 4 x d x  

A = ∫ 0 1 3 4 x d x   + ∫ 1 2 1 x - 1 4 x d x   = 3 x 2 8 0 1 + ln ⁡ x - 1 8 x 2 1 2 = ln ⁡ 2

Resposta

A = ln ⁡ 2

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Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). f ) ρ = tan ⁡ θ , - π 2θπ 2