Resolva a equação diferencial

y' = [3y \* (x + 1)^2] / (y - 1)

Passo 1

Podemos perceber que a equação diferencial é separável, já que é possível separar o que tem x de um lado e o que tem y do outro, lembrando que y ' = d y d x teremos

d y d x =   3 y ⋅ x + 1 2 y - 1

y - 1 d y =   3 y ⋅ x + 1 2   d x

y - 1 d y 3 y = x + 1 2   d x

Passo 2

Agora, podemos integrar ambos os lados e vamos chegar em

∫ y - 1 d y 3 y = ∫ x + 1 2   d x

Podemos resolver essas duas equações de maneira separada e juntar os resultados, então i : ∫ x + 1 2   d x  

Fazendo x + 1 = u → d u = d x

∫ u 2   d u = u 3 3 + C 1

Retornando para a variável x teremos i : x + 1 3 3 + C 1

i i : ∫ y - 1 d y 3 y  

∫ y 3 y - 1 3 y   d y = ∫ 1 3   d y - ∫ 1 3 y   d y

→ y 3 - ln ⁡ y 3 + C 2

Juntando ambos os resultados e fazendo C = C 1 - C 2

y 3 - ln ⁡ y 3 + C 2 = x + 1 3 3 + C 1 y 3 - ln ⁡ y 3 = x + 1 3 3 + C 1 - C 2

y 3 - ln ⁡ y 3 = x + 1 3 3 + C

1 3 ⋅ y - ln ⁡ y = x + 1 3 3 + C

→ y - ln ⁡ y = x + 1 3 + 3 C

Resposta

y - ln ⁡ y = x + 1 3 + 3 C

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