Enunciado

31. Encontre f

f^' (x) = 1 + 3 sqrt(x) , f (4) = 25

Passo 1

Antes de começarmos, vamos relembrar algumas coisas!

f (x) = x^n -> F (x) = (x^(n + 1))/(n + 1) + C quando n != - 1

Passo 2

Então vamos achar a primitiva de f ' ( x ) , isto é, f ( x ) :

f^' (x) = 1 + 3 sqrt(x)

Logo,

f^' (x) = 1 + 3 x^(1 // 2)

Usando a relação do Passo 1:

f (x) = 1 * (x^(0 + 1))/((0 + 1)) + 3 * (x^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) + C

Arrumando as coisas, temos:

f (x) = x + 3 (x^(3 // 2))/(3 // 2) + C

Passo 3

Mas ele nos deu a seguinte condição:

f (4) = 25

Do passo 2

f (x) = x + 2 x^(3 // 2) + C

Logo,

f (4) = 4 + 2 * 4^(3 // 2) + C = 25

Então,

C = 25 - 4 - 2 * 8 -> C = 5

Agora é só reescrever f (x)

f (x) = x + 2 x^(3 // 2) + 5

Resposta

f (x) = x + 2 x^(3 // 2) + 5

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