Enunciado

25. Encontre f

f^(' ') (x) = 20 x^3 - 12 x^2 + 6 x

Passo 1

A função dada é a seguinte:

f^(' ') (x) = 20 x^3 - 12 x^2 + 6 x

Não esquece: f (x) = x^n -> F (x) = (x^(n + 1))/(n + 1) + C quando n != - 1 .

Então as coisas vão ficar assim ó:

F^' (x) = (20 x^(3 + 1))/(3 + 1) - (12 x^(2 + 1))/(2 + 1) + (6 x^(1 + 1))/(1 + 1) + C_1

Logo,

F^' (x) = (20 x^4)/(4) - (12 x^3)/(3) + (6 x^2)/(2) + C_1

Então,

F^' (x) = 5 x^4 - 4 x^3 + 3 x^2 + C_1

Passo 2

Agora vamos achar a primitiva de F ' ( x ) .

F^' (x) = 5 x^4 - 4 x^3 + 3 x^2 + C_1

Então,

F (x) = (5 x^(4 + 1))/(4 + 1) - (4 x^(3 + 1))/(3 + 1) + (3 x^(2 + 1))/(2 + 1) + (C_1 x^(1 + 0))/(1 + 0) + C_2

Logo,

F (x) = x^5 - x^4 + x^3 + C_1 x + C_2

Passo 3

Derivando para conferir!

F (x) = x^5 - x^4 + x^3 + C_1 x + C_2

Então,

F^' (x) = 5 x^4 - 4 x^3 + 3 x^2 + C_1

Derivando novamente, temos:

F^(' ') (x) = 4 * 5 x^3 - 4 * 3 x^2 + 2 * 3 x

Portanto,

F^(' ') (x) = 20 x^3 - 12 x^2 + 6 x

Então,

F^' (x) = f ( x )

Resposta

F (x) = x^5 - x^4 + x^3 + C_1 x + C_2

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