Enunciado

Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um retângulo inscrito dentro de uma elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 e pediu pra gente encontrar a maior área possível desse retângulo.

O que ta acontecendo é isso daqui:

Nós sabemos que a área do retângulo é dada pelo produto da base pela altura. Se chamarmos a base de 2 x e a altura de 2 y , teremos:

A = 4 x y

E nós queremos que essa área seja máxima. Então, o que nós vamos fazer é isolar uma das variáveis na equação da elipse e substituir na equação de área do retângulo. Depois, vamos encontrar os pontos de máximo dessa função, derivando e igualando a zero para obter os pontos críticos e avaliando eles dentro da função.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar isolando y na equação da elipse:

y = b 1 - x 2 a 2

Resolvendo dentro da raiz:

y = b a 2 - x 2 a 2

E simplificando os quadrados:

y = b a a 2 - x 2

Passo 3

Agora vamos substituir na equação de área do retângulo:

A = 4 b x a a 2 - x 2

Para encontrarmos os pontos críticos dessa função, vamos derivar A em relação a x , usando a regra do produto junto com a regra da cadeia:

A ' = 4 b a a 2 - x 2 + 4 b x a ⋅ 1 2 ⋅ - 2 x ⋅ a 2 - x 2 - 1 2

A ' = 4 b a a 2 - x 2 - 4 b x 2 a a 2 - x 2

Tirando o MMC:

A ' = 4 b a 2 - x 2 - 4 b x 2 a a 2 - x 2

Aplicando a distributiva e simplificando o numerador:

A ' = 4 b a 2 - 8 b x 2 a a 2 - x 2

A ' = 4 b a 2 - 8 b x 2 a a 2 - x 2

Passo 4

Então, igualando essa derivada a zero, ficamos com:

4 b a 2 - 8 b x 2 a a 2 - x 2 = 0

Como o denominador não pode ser nulo, temos:

4 b a 2 - 8 b x 2 = 0

8 b x 2 = 4 b a 2

E isolando x :

x 2 = 4 b a 2 8 b

x 2 = a 2 2

Tirando a raiz dos dois lados da equação, temos:

x = a 1 2

x = a 2

x = a 2 2  

Esse é um ponto de máximo da nossa função. Então, vamos descobrir o valor de y no ponto, substituindo x = a 2 2 na equação da elipse:

y = b a a 2 - x 2

y = b a a 2 - a 2 2

Resolvendo dentro da raiz:

y = b a a 2 2

E simplificando, temos:

y = b ⋅ 1 2

y = b 2 2

Passo 5

Agora só falta calcularmos a área, então vamos substituir os valores de x e y em A :

A = 4 x y

A = 4 ⋅ a 2 2 ⋅ b 2 2

A = 2 a b

Portanto, a área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse vale 2 a b .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse vale 2 a b

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