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Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas:

y = x 2 ln ⁡ x   ,             y = 4 ln ⁡ x

Passo 1

As curvas y = x 2 ln ⁡ x   e y = 4 ln ⁡ x   se interceptam quando:

x 2 ln ⁡ x = 4 ln ⁡ x ⇒ x 2 ln ⁡ x - 4 ln ⁡ x = 0 ⇒ x 2 - 4 ln ⁡ x = 0 ⇒  

⇒ ln ⁡ x = 0 ,   e n t ã o   x = 1   o u   x 2 - 4 = 0 ,   e n t ã o   x = 2  

Observe que não consideramos o valor de x = - 2 , pois não existe logaritmo natural de número negativo, logo nosso domínio é restrito a { x ∈ I R | x > 0 } e esse valor não pertence a ele.

Passo 2

Logo temos que o intervalo de interceção é 1 < x < 2 e assim a área entre essas curvas é dada por:

A = ∫ 1 2 ( 4 ln ⁡ x - x 2 )   d x =   ∫ 1 2 4 - x 2 ln ⁡ x   d x

Para este caso vamos aplicar a técnica de integração por partes. Para isso precisamos dividir o argumento da integral em duas funções f ( x ) e g ( x ) respectivamente. Feito isso, aplicamos a fórmula para a integração por partes que é dada por :

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Ou de forma mais visível, fazemos:

∫ f x g ' x = f x g x - ∫ f ' x g ( x )

Primeiro então, devemos definir quem vão ser nossas funções. É aconselhável escolher a função mais fácil de derivar para ser f x ou a mais difícil de se integrar. Assim:

f x = ln ⁡ x         e           g ' x = 4 - x 2

Derivando f e integrando g ' , temos:

f x = ln ⁡ x     ⇒ f ' x = 1 x

g ' x = 4 - x 2 ⇒ g x = ∫ 4 - x 2 d x = 4 x - x 3 3

Passo 3

Aplicando as funções e suas derivadas na fórmula citada no passo anterior, temos:

A = ∫ 1 2 ( 4 - x 2 ) ln ⁡ x d x = ln ⁡ x   4 x - x 3 3 | 2 1 - ∫ 1 2 1 x 4 x - x 3 3 d x =

= ln ⁡ x 4 x - x 3 3 | 2 1 - ∫ 1 2 4 - x 2 3   d x = ln ⁡ x 4 x - x 3 3 | 2 1 - 4 x - x 3 9   | 2 1 =

= ln ⁡ 2 4 × 2 - 1 3 2 3 - ln ⁡ 1 4 × 1 - 1 3 3 - 4 × 2 - 2 3 9 - 4 × 1 - 1 3 9 =

= ln ⁡ 2 16 3 - 0 - 64 9 - 35 9 = 16 3 ln ⁡ 2 - 29 9

Relembrando que de forma genérica a integral definida possui a seguinte definição:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

A = 16 3 ln ⁡ 2 - 29 9

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