Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart - Capítulo 10.4 - Ex. 20

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Encontre a área da região dentro de um laco, onde r = 2 c o s 6 θ .

Passo 1

Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela integral ∫ a b 1 2 r θ 2 d θ onde r e a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo [ a , b ] .

Teremos que ∫ a b 1 2 r θ 2 d θ = R b - R ( a ) onde R é uma primitiva de 1 2 r θ 2 , ou seja, se derivarmos R teremos a função dentro da integral.

No problema, precisamos identificar o intervalo onde a curva faz um laço, como a função que determina o raio e periódica de período menor que 2 π em algum momento ela “se fecha” e esse intervalo sera nosso domínio de integração.

Passo 2

Temos que r π 12 = 0 = r π 12 + π 6 = r ( 3 π 12 ) , então temos um dos intervalos possíveis para um laço: π 12   , 3 π 12 .

Passo 3

Como a expressão do raio foi dada, já podemos calcular a integral:

∫ a b 1 2 r θ 2 d θ = ∫ 0 π 3 4   c o s 6 θ 2 2 d θ  

Precisamos de uma substituição para resolver essa integral, vamos la:

Usando as relações: s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 e a formula do arco duplo do cosseno: cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - s e n 2 ( θ ) . Trocando θ por 6 θ   , passando o seno ao quadrado para o outro lado, substituindo e simplificando, temos:

c o s 6 θ 2 = 1 + cos ⁡ 12 θ 2  

Passo 4

Agora, substituindo a expressão na integral e resolvendo:

∫ π 12 3 π 12 4   c o s 10 θ 2 2 d θ = 4 ∫ π 12 3 π 12 1 + cos ⁡ 10 θ 4   d θ   =   ∫ π 12 3 π 12 d θ - ∫ π 12 3 π 12 c o s ⁡ ( 10 θ ) d θ

Usando que uma primitiva da função na segunda integral é s e n 10 θ 10 , temos

=   3 π 12 - π 12 - s e n 3 π 10 - s e n π 10 = 2 π 10

Resposta

Logo, a resposta sera 2 π 10 .

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