Enunciado

Encontre a área da região que é limitada pela curva dada e está localizada no setor especificado.

1. r = e - θ / 4 ,     π 2 ≤ θ ≤ π

Passo 1

Podemos aplicar a equação da área diretamente, com os limites dados pelo quadrante especificado:

A = ∫ π / 2 π 1 2 r 2 d θ = ∫ π / 2 π 1 2 e - θ / 4 2 d θ

A = ∫ π / 2 π 1 2 e - 2 θ / 4 d θ

Passo 2

Vamos primeiro resolver a integral definida e substituir o limite ao final:

∫ 1 2 e - 2 θ / 4 d θ = ∫ 1 2 e - θ / 2 d θ

Integrando, o - 1 / 2 que acompanha θ na exponencial irá descer como - 2 e a função exponencial permanece inalterada:

1 2 - 2 e - θ / 2 + c = - e - θ / 2 + c

Passo 3

Substituindo os limites:

A = - e - π / 2 + e - π / 4

Ajeitando os termos:

A = e - π / 4 - e - π / 2

Resposta

A = e - π / 4 - e - π / 2

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Esboce a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 1 - s e nθ
Trace a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 2s e n4 θ
Trace a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 3 - 2 cos ⁡ 4 θ
Encontre a área da região dentro de um laço da curva: r = 4 c o s 3 θ
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva: r 2 = 8 c o s 2 θ r = 2