Enunciado

Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.

25. r 2 = 8 c o s 2 θ , r = 2

Passo 1

Precisamos encontrar a região que está dentro da curva vermelha e fora da curva azul na imagem abaixo:

Para encontrarmos o intervalo do ângulo que iremos integrar, vamos igualar as duas equações:

8 c o s 2 θ = 2 2

c o s 2 θ = 1 2

2 θ = ± π 3

Que corresponde ao valor de θ para os dois pontos de interseção no lado direito da figura acima, como ela é simétrica em relação aos dois eixos, podemos integrar no intervalo 0 ≤ θ ≤ π 6 e multiplicar a integral por quatro.

E a integral da área:

A = ∫ a b 1 2 f θ 2 - g θ 2 d θ

Será:

A = 4 ∫ 0 π / 6 1 2 8 c o s 2 θ - 4 d θ

Onde f θ = 8 c o s 2 θ e g θ = 2 .

Passo 2

Vamos primeiro resolver a integral indefinida e depois substituímos os limites:

∫ 1 2 8 c o s 2 θ - 4 d θ = ∫ 4 c o s 2 θ - 2 d θ

Integrando cada termo:

2 s e n 2 θ - 2 θ + c

Passo 3

Substituindo os limites de integração:

A = 2 s e n 2 π 6   - 2 π 6 - 2 s e n 0 - 2 * 0

A = 3 - π 3

Resposta

A = 3 - π 3

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