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Encontre as assíntotas horizontal e vertical e trace um esboço do gráfico da função

f x = x 3 + 2 x 2 + 4 x 2

Passo 1

Vamos começar pelas assíntotas horizontais.

Para encontra-las demos que calcular dois limites

lim x → + ∞ ⁡ f x

E

lim x → - ∞ ⁡ f x

Se agum desses limites der algum número, então teremos assíntotas horizontais.

Vamos começar com

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 2 x 2 + 4 x 2

Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com x indo para .

Então para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.

Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite

x 3 + 2 x 2 + 4 x 2

Passo 2

O nosso numerador é

x 3 + 2 x 2 + 4

Colocando x 3 em evidência

x 3 1 + 2 x + 4 x 3

Passo 3

O nosso denominador vai ser

x 2

Aqui temos apenas um termo, não precisamos colocar nada em evidência.

Passo 4

A nossa fração vai ficar

x 3 + 2 x 2 + 4 x 2 = x 3 1 + 2 x + 4 x 3 x 2 = x 1 + 2 x + 4 x 3 1

Agora, vamos tomar o limite

lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 2 x 2 + 4 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 1 + 2 x + 4 x 3 1

Lembrando que o limite de um número sobre é sempre 0 , vamos ter

lim x → + ∞ ⁡ x 1 + 2 x + 4 x 3 1 = + ∞ 1 + 0 + 0 1 = + ∞ 1 = + ∞

Assim, não teremos assíntota horizontal desse lado.

Passo 5

Vamos para o outro limite

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x 3 + 2 x 2 + 4 x 2

Temos a mesma situação de antes, então já podemos utilizar aquela fração final

lim x → - ∞ ⁡ x 3 + 2 x 2 + 4 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 1 + 2 x + 4 x 3 1 = - ∞ 1 + 0 + 0 1 = - ∞ 1 = - ∞

Assim, não teremos assíntota horizontal desse lado.

Passo 6

A assíntota vertical é o valor de x que ao tomarmos o limite ele vai para + ∞ ou para - ∞ .

Para acharmos essas assíntotas, precisamos calcular o limite em alguns candidatos.

Quem são eles?

Como aqui temos uma fração, os candidatos serão os que zeram o denominador.

Nesse caso

x 2 = 0

x = 0

Para o cálculo da assíntota, devemos separar nos limites laterais, para entender o comportamento da função. Ou seja, calcular

lim x → 0 + ⁡ f x

E

lim x → 0 - ⁡ f x

Passo 7

Começando com

lim x → 0 + ⁡ f x

Que vai ser

lim x → 0 + ⁡ x 3 + 2 x 2 + 4 x 2 = 0 3 + 2 0 2 + 4 0 2 = 4 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de 0 , neste caso, pela direita.

O nosso denominador é x 2 , que é sempre positivo.

O nosso numerador vai ser x 3 + 2 x 2 + 4 , como x está próximo de 0 , ele vai ficar próximo de 0 3 + 2 0 2 + 4 = 4 , então é positivo.

Assim, nossa fração vai ser positiva, porque é divisão de positivo com positivo, para valores maiores que 0 .

E isso nos diz que

lim x → 0 + ⁡ x 3 + 2 x 2 + 4 x 2 = + ∞

Passo 8

Começando com

lim x → 0 - ⁡ f x

Que vai ser

lim x → 0 - ⁡ x 3 + 2 x 2 + 4 x 2 = 0 3 + 2 0 2 + 4 0 2 = 4 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de 0 , neste caso, pela esquerda.

O nosso denominador é x 2 , que é sempre positivo.

O nosso numerador vai ser x 3 + 2 x 2 + 4 , como x está próximo de 0 , ele vai ficar próximo de 0 3 + 2 0 2 + 4 = 4 , então é positivo.

Assim, nossa fração vai ser positiva, porque é divisão de positivo com positivo, para valores menores que 0 .

E isso nos diz que

lim x → - 4 - ⁡ x 3 + 2 x 2 + 4 x 2 = + ∞

Passo 9

Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , nessa questão os dois né rs

Temos que

x = 0

É assíntota vertical.

Não teremos assíntotas horizontais.

E ver como fica o esboço.

O esboço vai ficar

Resposta

Assíntota vertical:

x = 0

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