Esboce o gráfico.

f(x) = 2x + 1 + e^(-x)

Passo 1

Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é D f = R .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio, da função exponencial e da função constante para achar f ' x :

x n ' = n x n - 1

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

c ' = 0

Vamos então aplicar:

f ' x = 2 x + 1 + e - x ' = 2 + 0 + e - x - 1 = 2 - e - x

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f ' x igualando a zero:

2 - e - x = 0 ↔ e - x = 2 → x = - ln ⁡ 2

Temos que f ' x > 0 em:

- ln ⁡ 2 , + ∞

E f ' x < 0 em:

- ∞ , - ln ⁡ 2

Como f é contínua temos que:

f é estritamente crescente em - ln ⁡ 2 , + ∞

f é estritamente decrescente em - ∞ , - ln ⁡ 2

Passo 3

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de f ' ' x :

f ' ' x = f ' f ' x = 2 - e - x ' = 0 - e - x - 1 = e - x

f ' ' x > 0 para todo x , tendo a concavidade voltada para cima.

Não possui um ponto de inflexão.

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 1 + e - x = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ 2 x + 1 + e - x = + ∞

Passo 5

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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