Enunciado

Encontre o centroide da região.

O triângulo de vértices ( 0,0 ) , ( 1,1 ) e ( 2 , 0 ) .

Passo 1

Temos esse carinha aqui:

A ideia aqui é encontrar o centroide usando nossa fórmulinha:

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

Passo 2

Vamos tentar achar os limitantes dessa região no eixo x e no eixo y .

Em x :

0 < x < 2

Mas temos duas retas nesse intervalo: em [ 0,1 ] precisamos achar a reta que passa por ( 0,0 ) e ( 1,1 ) .

y = m x + b

0 , 0 ∴ 0 = b

1,1 ∴ 1 = 1 m ∴ m = 1

y = x

Em [ 1 , 2 ] , precisamos achar a reta que passa por ( 1 , 1 ) e ( 2,0 ) . Ela tem essa cara:

y = m x + b

2,0 ∴ 0 = 2 m + b

1,1 ∴ 1 = 1 m + b

Resolvendo o sisteminha:

m = - 1 ,     b = 2

y = - x + 2

Passo 3

Vamos achar as coordenadas do centroide por integração. Primeiro a coordenada x - :

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

Para [ 0,1 ] , no eixo y , nossa região está entre y = f x = x (por cima) e y = g x = 0 (por baixo). Já para para [ 1 , 2 ] , no eixo y , nossa região está entre y = f x = 2 - x (por cima) e y = g x = 0 (por baixo). Por isso vamos ter duas integrais, uma para cada intervalo.

Como temos um triângulo de altura 1 e base 2 :

á r e a   d e   R = 1 ⋅ 2 2 = 1

Nossa integral fica:

x - = 1   ∫ 0 1 x x - 0 d x + ∫ 1 2 x 2 - x - 0 d x

Fazendo a distributiva e calculando a integral de polinômios:

x - = 1

A gente até já esperava esse valor, porque nosso triângulo é simétrico ao eixo vertical que passa por essa coordenada.

Passo 4

Agora a coordenada y - :

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

y - = ∫ 0 1 1 2 x 2 - 0 2 d x + ∫ 1 2 1 2 2 - x 2 - 0 2 d x

Elevando a função ao quadrado e calculando a integral de polinômios que aparecer:

y - = 1 3

Resposta

x - , y - = 1 , 1 3

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