Enunciado

Encontre o comprimento de arco da curva y = 4 - x 2 acima do intervalo 0,2 .

Passo 1

Primeiro vamos ter uma noção de como é o arco dentro do intervalo 0 , 2 :

Pronto, temos que a fórmula do comprimento de arco é:

C = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Vamos então calcular f ' x para substituir na integral.

Passo 2

Calculando então a derivada:

f ' x = 4 - x 2 ' = 4 - x 2 1 2 ' = 1 2 4 - x 2 1 2 - 1 0 - 2 x 2 - 1 = 1 2 4 - x 2 1 - 2 2 - 2 x =

= 4 - x 2 - 1 2 - x = - x 4 - x 2

Passo 3

Vamos agora achar a expressão dentro da integral:

1 + f ' x 2 = 1 + - x 4 - x 2 2 = 1 + x 2 4 - x 2 = 4 - x 2 + x 2 4 - x 2 = 4 4 - x 2

Agora substituindo para encontrar o comprimento:

C = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x = ∫ 0 2 4 4 - x 2 d x = ∫ 0 2 4 4 - x 2 d x = ∫ 0 2 2 4 - x 2 d x =

= 2 ∫ 0 2 1 4 - x 2 d x

Passo 4

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ 1 4 - x 2 d x

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsen ⁡ x a + C

Aplicando:

∫ 1 4 - x 2 d x = arcsen ⁡ x 2 + C

Passo 5

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Agora vamos voltar a integral:

2 ∫ 0 2 1 4 - x 2 d x = 2 arcsen ⁡ x 2 0 2 = 2 arcsen ⁡ 2 2 - arcsen ⁡ 0 2 = 2 arcsen ⁡ 1 - arcsen ⁡ 0 =

= 2 π 2 - 0 = π

Resposta

C = π

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Determinar a área sob a curva y = 1 4 - x no intervalo [ 0 ,4 ) .
Dar um exemplo de uma função f , tal que o lim b → + ∞ ⁡ ∫ - b b f x d x existe, mas a integral imprópria ∫ - ∞ ∞ f x d x é divergente.
Verificar se a integral ∫ - ∞ 0 e 5 x d x Converge. Em caso positivo, determinar seu valor.
Investigue a integral imprópria ∫ 7 ∞ 1 x - 5 2 d x
Mostrar que ∫ 1 ∞ d x x É divergente.