Enunciado

Encontre a área da região entre o eixo x e a curva y = e - 3 x com x ≥ 0 .

Passo 1

Vamos visualizar a região, que é acima do eixo x e abaixo da curva y = e - 3 x com x ≥ 0 :

Temos que a área vai ser a integral:

A = ∫ 0 ∞ e - 3 x d x

Onde o limite de integração vai de 0 até infinito, e devemos integrar a função da curva.

Passo 2

Temos aqui que f é contínua no intervalo a , b , exceto por uma descontinuidade infinita em b , então a integral imprópria de f no intervalo a , b é definida por:

∫ a b f x d x = lim k → b ⁻ ⁡ ∫ a k f x d x

Vamos agora substituir os limites de integração e a função:

A = ∫ 0 ∞ e - 3 x d x = lim k → + ∞ ⁡ ∫ 0 k e - 3 x d x

Passo 3

Vamos calcular a integral do limite, vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ e - 3 x d x

Vamos fazer uma substituição:

u = - 3 x

d u = - 3 d x → - d u 3 = d x

Próximo passo é substituir na integral:

∫ e - 3 x d x = ∫ - e u 3 d u = - 1 3 ∫ e u d u

Passo 4

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ e x d x = e x + C

Aplicando:

∫ e - 3 x d x = - 1 3 ∫ e u d u = - 1 3 e u + C

Lembre de voltar a variável original x , é só substituir de volta o que você usou lá no começo:

∫ e - 3 x d x = - 1 3 e u + C = - 1 3 e - 3 x + C

Passo 5

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Agora vamos voltar a integral:

∫ 0 k e - 3 x d x = - 1 3 e - 3 x 0 k = - 1 3 e - 3 k - - 1 3 e - 3 ⋅ 0 = - 1 3 e - 3 k - - 1 3 e 0 =

= - 1 3 e - 3 k - - 1 3 ⋅ 1 = - 1 3 e - 3 k + 1 3

Passo 6

Agora vamos calcular a integral original:

A = ∫ 0 ∞ e - 3 x d x = lim k → + ∞ ⁡ ∫ 0 k e - 3 x d x = lim k → + ∞ ⁡ - 1 3 e - 3 k + 1 3 = lim k → + ∞ ⁡ 1 3 + lim k → + ∞ ⁡ - 1 3 e - 3 k =

= 1 3 + lim k → + ∞ ⁡ - 1 3 e 3 k = 1 3 + 0 = 1 3

Pronto, temos que a área da região é de 1 3 .

Resposta

A = 1 3

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