Enunciado

Encontre as coordenadas polares, 0 ≤ θ < 2 π e r ≤ 0 , dos pontos a seguir dados em coordenadas cartesianas.

4 ,   - 3

Passo 1

Olá pessoal, espero que todos estejam bem e animados para este exercício. Vamos lá!

As equações que relacionam as coordenadas polares e cartesianas são:

Porém, as equações não determinam somente θ quando x e y são dados, porque à medida que θ aumenta no intervalo 0 ≤ θ ≤ 2 π , cada valor de tg ⁡ θ ocorre duas vezes. Portanto, para transformar coordenadas cartesianas em coordenadas polares, não é apenas suficiente encontrar r e θ , devemos escolher θ de modo que o ponto r ,   θ esteja no quadrando correto.

Por exemplo, o ponto 1 ,   - 1 está no quarto quadrante, e através das equações descobrimos que θ = π / 4 , que pertence ao primeiro quadrante, então podemos escolher θ = - π / 4 ou θ = 7 π / 4 .

Sabendo disso, o enunciado nos fornece os seguintes dados:

x = 4       y = - 3

Então primeiro conseguimos calcular o valor do raio:

r = x 2 + y 2

r = 4 2 + - 3 2

r = 16 + 9

r = ± 5

O enunciado nos diz que r ≤ 0 , logo:

r = - 5

Passo 2

Então conseguimos calcular θ :

tg ⁡ θ = y x

tg ⁡ θ = - 3 4

θ = tg - 1 ⁡ - 3 4

Precisamos somar o valor de π para deixarmos no quadrante correto. Sendo assim, temos:

θ = π - tg - 1 ⁡ 3 4

Logo nossa coordenada polar será - 5 ,   π - tg - 1 ⁡ 3 4 .

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

- 5 ,   π - tg - 1 ⁡ 3 4

Exercícios de Livros Relacionados

Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. Em seguida, descreva ou identifique o gráfico. r sen ⁡ θ + π 6 = 2
Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. Em seguida, descreva ou identifique o gráfico. r 2 = - 6 r sen ⁡ θ
Substitua as equações cartesianas nos Exercícios 53-66 por equações polares equivalentes. x y = 2
Retas verticais e horizontaisMostre que toda reta vertical no plano x y tem uma equação polar da forma r = a sec ⁡ θ .Encontre a equação polar análoga para retas horizontais no plano x y .
Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. Em seguida, descreva ou identifique o gráfico. r = 8 sen ⁡ θ