Encontre a derivada da função.

h(t) = ((t^4 - 1)^3) \* ((t^3 + 1)^4)

Passo 1

Opa, bora lá! Precisamos derivar:

h t = t 4 - 1 3 t 3 + 1 4

Aqui vamos usar a regra do produto:

f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

Temos que:

f t = t 4 - 1 3

e

g t = t 3 + 1 4

Repara que a gente vai usar a regra do produto duas vezes!

Passo 2

Usamos a regra do polinômio, da função constante e da cadeia pra calcular f ' ( t ) . Além da regra do produto:

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

Aplicando a regra do produto:

f ' t = t 4 - 1 3 ' = 3 t 4 - 1 3 - 1 t 4 - 1 '

Derivando:

f ' ( t ) = 3 t 4 - 1 2 4 t 4 - 1 - 0

f ' t = 3 t 4 - 1 2 4 t 3 - 0

Agora é só simplificar:

f ' t = 3 t 4 - 1 2 4 t 3

f ' ( t ) = 12 t 3 t 4 - 1 2

Passo 3

Com g ' ( t ) é a mesma coisa:

g ' t = t 3 + 1 4 '

g ' t = 4 t 3 + 1 4 - 1 t 3 + 1 '

g ' t = 4 t 3 + 1 3 3 t 3 - 1 + 0

g ' t = 4 t 3 + 1 3 3 t 2

g ' t = 12 t 2 t 3 + 1 3

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

h ' ( t ) = f t g t ' = f ' t g t + g ' t f t

h ' ( t ) = 12 t 3 t 4 - 1 2 t 3 + 1 4 + 12 t 2 t 3 + 1 3 t 4 - 1 3

Prontinho!

Resposta

h ' ( t ) = 12 t 3 t 4 - 1 2 . t 3 + 1 4 + 12 t 2 t 3 + 1 3 . t 4 - 1 3

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