Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart - Capítulo 3.5 - Ex. 7

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Encontre d y / d x derivando implicitamente.

x 3 + x 2 y + 4 y 2 = 6

Passo 1

O enunciado fornece uma equação que dá y em função de x de forma implícita. Como devemos achar y ' , é pedido que derivemos implicitamente a equação para assim encontra-lo!!!

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x . É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!! Assim, f y ' = f ' y ⋅ y ' .

Derivando a equação x 3 + x 2 y + 4 y 2 = 6 com relação a x , temos que

3 x 2 + 2 x ⋅ y + x 2 ⋅ y ' + 8 y ⋅ y ' = 0

*A derivada de x 2 y é obtida pela regra do produto: x 2 y ' = x 2 ' ⋅ y + x 2 ⋅ y ' .

Passo 3

Isolando y ' , temos que

y '   x 2 + 8 y =   - 3 x 2 - 2 x y

y ' = - 3 x 2 + 2 x y x 2 + 8 y

Resposta

R: y ' = - 3 x 2 + 2 x y x 2 + 8 y

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