Enunciado

Nos exercícios de 25 a 30, x e y são funções de uma terceira variável. Calcule d y d x , encontrando o diferencial termo a termo (veja o Exemplo 3).

s e n x c o s y - c o s x s e n y = 1 2

Passo 1

Vamos usar derivação termo a termo ou derivação implícita, já que não temos y = f ( x ) . Antes de continuar, lembre-se, da trigonometria, que:

s e n x - y = s e n x c o s y - c o s x s e n y

Ou seja:

s e n x - y = 1 2

Passo 2

Vamos derivar em relação a x , já que queremos d y d x :

d s e n x - y d x = d 1 2 d x = 0

Passo 3

Usando a regra da cadeia, temos:

d s e n x - y d x = d s e n x - y d x - y d x - y d x = cos ⁡ x - y d x d x - d y d x = cos ⁡ x - y 1 - d y d x  

Passo 4

Por fim, temos que:

cos ⁡ x - y 1 - d y d x = 0 ⇒ cos ⁡ x - y = 0   o u   1 - d y d x = 0

Suponha, então, que cos ⁡ x - y = 0 . Da trigonometria, devemos ter:

s e n 2 x - y + cos 2 ⁡ x - y = 1

Mas s e n 2 x - y = 1 4 , então:

1 4 + 0 = 1

Absurdo!

Logo, devemos ter 1 - d y d x = 0 , ou ainda:

d y d x = 1

Resposta

d y d x = 1

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