Enunciado

Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas

45. Hipérbole, vértices - 3 , - 4   - 3,6 ,   focos ( - 3 , - 7 ) e ( - 3,9 )

Passo 1

Nessa questão, nos foi dado o nome da cônica, seus vértices e focos para econtrarmos sua equação.

Bom, sabemos que é uma hipérbole, e hipérboles tem equações no formato x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1   ou y - y 0 2 a 2 - x - x 0 2 b 2 = 1 , dependendo qual seu eixo. Note que essa é uma hipérbole com eixo maior no eixo X , podemos ver isso pelas coordenadas do foco e vértice, que mudam apenas em y , então a equação é do tipo y - y 0 2 a 2 - x - x 0 2 b 2 = 1

O centro da hipérbole fica na metade do caminho entre seus vértices, como aqui temos V 1 = - 3 , - 4   e   V 2 = ( - 3,6 ) , nosso centro será - 3 ,   6 -   - 4 - 6 2 = - 3 ,   6 - 5 = ( - 3,1 ) . Portanto ( x 0 , y 0 ) = ( - 3 , 1 )

Sabemos que os focos de uma hipérbole com eixo maior em X são f = ( x 0 , y 0 ± c ) ,

então 1 + c = 9 , c = 8

Os vértices são V = ( x 0 , y 0 ± a ) , então sabemos que 1 + a = 6 ,         a = 5 .

Também sabemos que existe uma relação entre a , b   e   c , tal que c 2 = a 2 + b 2 , então trocando os valores, encontramos:

c 2 = a 2 + b 2

64 = 25 + b 2

b 2 = 39

Com isso tudo, podemos montar nossa equação:

y - y 0 2 a 2 - x - x 0 2 b 2 = 1

y - 1 2 25 - x + 3 2 39 = 1

Resposta

y - 1 2 25 - x + 3 2 39 = 1

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