Enunciado

Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole e esboce seu gráfico:

23. x 2 - y 2 + 2 y = 2

Passo 1

Precisamos primeiro reescrever a equação de maneira que ela fique semelhante à equação padrão da hipérbole. Para isso, vamos subtrair 1 dos dois lados:

x 2 - y 2 + 2 y - 1 = 2 - 1

Colocamos então o sinal negativo em evidência para alguns termos da equação (para podermos completar quadrados depois):

x 2 - ( y 2 - 2 y + 1 ) = 1

Completando quadrados:

x 2 - y - 1 2 = 1

Passo 2

Ambos os denominadores são 1, o que significa:

a = b = 1

E então, calculando c:

c = ± a 2 + b 2

c = ± 2

Passo 3

Com esses valores, podemos encontrar as coordenadas dos focos e dos vértices, devemos apenas tomar cuidado com o - 1 na equação da hipérbole, que significa que o centro está transladado, portanto, os vértices e os focos também estarão. Pela definição dos vértices teremos:

± a ,   1 = ( ± 1 ,   1 )

E pela definição dos focos:

± c ,   1 = ( ± 2 ,   1 )

E as assíntotas serão:

y = ± a b x + 1 = ± x + 1

Passo 4

O gráfico da hipérbole dada será:

Resposta

( ± 1 ,   1 )

( ± 2 ,   1 )

y = ± x + 1

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(a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica (c) dê a equação da diretriz, e (d) esboce a cônica.14. r = 1 3 - 3 s e n θ
(a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica (c) dê a equação da diretriz, e (d) esboce a cônica.16. r = 4 2 + 3 c o s θ