Enunciado

Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.

x + y + z = e x y z ,                   ( 0 ,   0 ,   1 )

Passo 1

Queremos a equação do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado. Para isso, vamos interpretar a superfície com uma superfície de nível 0 da função

f x , y , z = x + y + z - e x y z

O vetor normal ao plano será o gradiante dessa função:

∇ f x , y , z = ( 1 - y z e x y z , 1 - x z e x y z ,   1 - x y e x y z )

Usando x ,   y ,   z = ( 0 ,   0 ,   1 ) :

∇ f = ( 1 ,   1 ,   1 )

Esse é o vetor normal do plano tangente e o vetor diretor da reta tangente!

Passo 2

A equação do plano tangente é dada pelo produto escalar:

x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 ⋅ ∇ f = 0

Assim,

x - 0 ,   y - 0 ,   z - 1 ⋅ 1 ,   1 ,   1 = 0

Portanto,

x + y + z - 1 = 0

Logo,

x + y + z = 1

Passo 3

Já para a reta normal:

x , y , z = x 0 ,   y 0 , z 0 + t   ∇ f

Assim,

x , y , z = 0 ,   0 ,   1 + t   ( 1 ,   1 ,   1 )

Resposta

x + y + z = 1

x , y , z = 0 ,   0 ,   1 + t   ( 1 ,   1 ,   1 )

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