Enunciado

Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes

10. r = 2 + c o s θ

Passo 1

Como o enunciado nos fala sobre retas tangentes, precisaremos aplicar a seguinte equação, para obtermos as inclinações delas:

t g α = t g θ d r d θ + r d r d θ - r t g θ

Encontrando d r d θ :

  d r d θ = - s e n θ

Substituindo r e o que achamos acima:

t g α = - t g θ s e n θ + 2 + c o s θ - s e n θ - 2 + c o s θ t g θ

Passo 2

Primeiro encontraremos os pontos das retas horizontais, para isso precisamos igualar o numerador da equação acima a 0, pois a reta horizontal possui inclinação zero:

- t g θ s e n θ + 2 + c o s θ = 0

Reescrevendo:

- s e n θ c o s θ s e n θ + 2 + c o s θ = 0

- s e n 2 θ + 2 c o s θ + c o s 2 θ = 0

Substituindo s e n 2 θ através da relação trigonométrica:

s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1

s e n 2 θ = 1 - c o s 2 θ

Ficaremos com:

2 c o s 2 θ + 2 c o s θ - 1 = 0

c o s 2 θ + c o s θ - 1 2 = 0

Aplicando a Fórmula de Bhaskara (anulando o valor negativo para a raiz, pois não está definido):

c o s θ = - 1 + 3 2 → θ ≅ 1,2 0   e   θ ≅ 5,08

Assim podemos determinar o valor de r para   θ ≅ 1,20 :

r = 2 + - 1 + 1 + 2 2 = 3 + 3 2

E poderemos determinar as coordenadas cartesianas do ponto:

x = r c o s θ = 3 + 3 2 - 1 + 3 2 = 3 2

y = 3 + 3 2 s e n 1,20 = 2,21

Para θ ≅ 5,08 :

x = 3 + 3 2 c o s 5,08 ≅ 0,85

y = 3 + 3 2 s e n 5,08 ≅ - 2,21

Nos pontos 3 2 , 2,21 e   ( 0,85 ,   - 2,21 ) , passam duas retas horizontais tangentes à curva.

Passo 3

Para as retas verticais, o denominador da equação da inclinação deve ser zero, pois a inclinação deve tender para infinito:

- s e n θ - 2 + c o s θ t g θ = 0

- s e n θ - 2 + c o s θ s e n θ c o s θ = 0

- s e n θ c o s θ - 2 + c o s θ s e n θ = 0

- s e n θ c o s θ + 2 + c o s θ = 0

c o s θ + 2 + c o s θ = 0

c o s θ = - 1 → θ = π

Agora podemos calcular o valor de r:

r = 2 - 1 = 1

E nas coordenadas cartesianas:

x = - 1

y = 0

Outro valor em que o denominador é 0, é θ = 0 , nesse caso teremos:

r = 2 + 1 = 3

E as coordenadas cartesianas serão:

x = 3

y = 0

Logo, nos pontos - 1 ,   0   e   ( 3 ,   0 ) existirão retas verticais tangentes à curva.

Passo 4

O esboço do gráfico será:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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