Enunciado

Encontre equações para ambas as retas que são tangentes à curva y = 1 + x 3 e que são paralelas à reta 12 x - y = 1 .

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

y = 1 + x 3

12 x - y = 1

Vamos dizer que:

y 1 = 1 + x 3

y 2 = 12 x - 1

Temos que achar uma reta tangente de y 1 que seja paralela a y 2 . Sabemos que a derivada de uma função em determinado ponto é igual a inclinação da reta tangente nesse ponto, certo?!

Agora, o que precisa pra duas retas serem paralelas?!

Elas precisam ter o mesmo coeficiente angular! Logo para que a reta tangente de y 1 seja paralela a y 2 ela deve ter coeficiente angular igual a 12 !

Passo 2

Vamos derivar y 1 :

y 1 = 1 + x 3

y 1 ' = 3 x 2

Mas a gente quer que y 1 ' seja igual a 12 , lembra?!

3 x 2 = 12

x 2 = 12 3 = 4

x = ± 2

Agora substituímos em y 1 :

y 1 = 1 + 2 3 = 9

y 1 = 1 - 2 3 = - 7

Então as retas tangentes que queremos encontrar passam pelos pontos ( - 2 , - 7 ) e ( 2,9 ) e também conhecemos o seu coeficiente angular que é igual a 12 .

Passo 3

Com isso a gente pode usar a equação geral da reta e substituir nossas informações:

y - y 0 = m x - x 0

Onde m é o coeficiente angular. Para ( - 2 , - 7 ) temos:

y - - 7 = 12 ( x - - 2 )

y = 12 x + 24 - 7

y = 12 x + 17

E a que passa por ( 2,9 ) :

y - 9 = 12 ( x - 2 )

y = 12 x - 24 + 9

y = 12 x - 15

Então as retas:

y = 12 x + 17

y = 12 x - 15

São tangentes a:

y 1 = 1 + x 3

E paralelas a:

y 2 = 12 x - 1

Prontinho😊

Resposta

y = 12 x + 17

y = 12 x - 15

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. y sen ⁡ 2 x = x cos ⁡ 2 y ,π 2 , π 4
Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. sen ⁡ x + y = 2 x - 2 y ,( π , π )
Encontre f ' ( x ) . Verifique se sua resposta é razoávem comparando os gráficos de f e f ' . f x = a r c t g ( x 2 - x )
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. y = x 3 - 3 x + 1 , ( 2,3 )
Se a equação de uma reta tangente à curva f ( x ) em 4,3 passar pelo ponto 0,2 encontre f 4ef ' ( 4 ) .