Enunciado

(a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica (c) dê a equação da diretriz, e (d) esboce a cônica.

16. r = 4 2 + 3 c o s θ

Passo 1

(a) Bom, vamos primeiro olhar para a equação geral das cônicas para o caso da equação do enunciado:

r = e d 1 + e c o s θ

Podemos ver que a excentricidade pode ser tirada do termo que multiplica a função cosseno. Mas devemos tomar cuidado com a maneira como a equação dada está escrita, ela não está na mesma forma que a equação geral, vamos então reescrevê-la, tiramos fator comum no denominador:

r = 4 2 1 + 3 2 c o s θ

E simplificamos:

r = 2 1 + 3 2 c o s θ

Agora sim podemos tirar a excentricidade, que será:

e = 3 2

Passo 2

(b) Como essa excentricidade é maior que 1, a cônica será uma hipérbole.

Passo 3

(c) Vamos primeiro calcular d , fazemos isso comparando o numerador da equação geral com o da equação que calculamos no Passo 1:

e d = 2

Já que sabemos o valor de e , ficamos com:

3 2 d = 2

d = 4 3

Como a equação da nossa hipérbole possui um termo + e c o s θ , a diretriz será constante em x, e estará à direita do foco (será positiva), então usando o valor de d :

x = 4 3

Passo 4

O gráfico da cônica será:

Resposta

a   e = 3 2

b   H i p é r b o l e

c   x = 4 3

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