Enunciado

(a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica (c) dê a equação da diretriz, e (d) esboce a cônica.

14. r = 1 3 - 3 s e n θ

Passo 1

(a) Podemos encontrar a excentricidade comparando a equação do enunciado com uma das equações gerais das cônicas:

r = e d 1 - e s e n θ

O e que multiplica a função seno é a excentricidade, mas a equação dada não está na mesma forma da equação geral, vamos ajeitá-la para que fique o mais parecido possível. Colocamos o 3 em evidência no denominador:

r = 1 3 ( 1 - s e n θ )

E colocamos ele para cima, porque isso vai ajudar a gente a encontrar a diretriz na letra (c):

r = 1 / 3 1 - s e n θ

Pronto, agora basta olharmos para o quê multiplica a função seno, isso será a excentricidade, assim:

e = 1

Passo 2

(b) Como a excentricidade é 1, essa cônica é uma parábola.

Passo 3

(c) Para acharmos a equação da diretriz, precisamos primeiro encontrar d , para isso, comparamos o numerador da equação geral com o da equação dada, teremos:

e d = 1 3

E já que sabemos o valor da excentricidade:

d = 1 3

Agora precisamos saber se a diretriz é horizontal ou vertical, como no denominador temos o termo - e s e n θ , significa que y é constante, ou seja, a reta é vertical, e como o sinal é negativo, o valor de y também será, então:

y = - 1 3

Essa será a equação da diretriz.

Passo 4

O gráfico da parábola é:

Resposta

a   e = 1

b   P a r á b o l a

c   y = - 1 3

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