Responde Aí

Enunciado

Encontre uma expressão para a função cujo gráfico é a curva dada:

Passo 1

Bom pessoal, o segredo dessa questão é dividir o gráfico em três partes: a primeira é a reta mais à esquerda, a segunda o semi-círculo no meio e a terceira a outra reta mais à direita, ta bom?

Nessa primeira parte, vamos pegar os pontos P 1 = ( - 2 ,   0 ) e P 2 = ( - 4,3 ) para jogar na nossa equação da reta, dada por:

y - y 1 = y 1 - y 2 x 1 - x 2   .   ( x - x 1 )

Substiuindo os valores, vamos ter:

y - 0 = 0 - 3 - 2 - - 4   .   ( x - ( - 2 ) )

Organizando os sinais na equação, vamos ter:

y = - 3 - 2 + 4   .   ( x + 2 )

Continuando:

y = - 3 2   .   ( x + 2 )

y = - 3 x 2 - 3

E aí achamos a expressão da primeira parte do nosso gráfico! Essa expressão vai existir só no intervalo - 4 ≤ x ≤ - 2 , ta bom?

Passo 2

Vemos que a segunda parte do nosso gráfico é a metade superior de uma circunferência de raio r = 2 . A equação de uma circunferência (quando ela ta com o centro na origem do gráfico) é:

x 2 + y 2 = r 2

A gente vai ter então que a nossa equação vai ficar:

x 2 + y 2 = 4

Agora, nós termos que escrever y em termos de x . Olha só como a gente faz isso:

y 2 = 4 - x 2

Tirando a raiz dos dois lados:

y = ± 4 - x 2

Podemos ter uma raíz negativa ou positiva para um mesmo número, tranquilo? Não vai esquecer! Por esse motivo, a gente colocou o mais e menos na frente da raíz. Acontece que a expressão negativa seria a parte inferior da circunferência, enquanto a expressão positiva é a parte de cima. Logo, sabemos que a expressão que a gente quer é:

y = 4 - x 2

Ah, antes que eu me esqueça: isso só vale no intervalo - 2 ≤ x ≤ 2 !

Passo 3

Falta só mais uma parte do gráfico galera! E nessa aqui a gente faz a mesma coisa que fez no passo 1 , so vai ter que pegar outros pontos. Nesse caso, a gente vai usar P 1 = ( 2 ,   0 ) e P 2 = ( 4,3 ) . Saca só:

y - 0 = 0 - 3 2 - 4   .   ( x - 2 )

O que vai dar:

y = 3 2   .   ( x - 2 )

Que, fazendo a multiplicação:

y = 3 2 x - 3

Pronto, achamos a expressão da nossa última parte! Ela é válida só para 2 ≤ x ≤ 4 . Dessa forma, a nossa função, que chamaremos de f ( x ) , vai ficar:

f x = y = - 3 x 2 - 3 ,     - 4 ≤ x ≤ - 2 y = 4 - x 2 ,     - 2 < x ≤ 2   y = 3 2 x - 3 ,     2 < x ≤ 4    

Dá uma olhada que, da primeira para a segunda condição de existência, tem um “ < ” e não um “ ” no - 2 . Isso é só uma questão de notação mesmo (você deve colocar um símbolo em uma condição e o outro símbolo na outra, independente da ordem). O mesmo vale quando vamos da segunda condição para a terceira, com relação ao 2 . Não vai esquecer disso quando for escrever a sua resposta, combinado? ;)

Resposta

f x = y = - 3 x 2 - 3 ,     - 4 ≤ x ≤ - 2 y = 4 - x 2 ,     - 2 < x ≤ 2   y = 3 2 x - 3 ,     2 < x ≤ 4    

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