Enunciado

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Encontre uma fórmula para uma função f que satisfaça as seguintes condições:

lim x → ± ∞ ⁡ f x = 0   ;   lim x → 0 ⁡ f x = - ∞ ; f 2 = 0   ; lim x → 3 + ⁡ f x = - ∞   ; lim x → 3 - ⁡ f x = ∞

Passo 1

Ok, admito, essa questão é um pouco assustadora. Mas relaxa, vamos tirar de letra. Objetivo? Achar uma lei de formação pra f x que valha:

lim x → ± ∞ ⁡ f x = 0 lim x → 0 ⁡ f x = - ∞ f 2 = 0 lim x → 3 + ⁡ f x = - ∞ lim x → 3 - ⁡ f x = ∞

Uma boa forma de começar é pelas assíntotas verticais. Veja que pela definição delas, x = 3 é uma assíntota vertical! Um belo primeiro chute pra f x seria:

f x = 1 3 - x

Pra garantir a assíntota, bastava a gente criar uma situação problemática na função! Nesse caso, veja que se x = 3 , temos 1 0 , o que não existe! Outras duas coisas importantes de notar no nosso chute inicial:

  1. Se tentarmos algo do tipo f x = 1 x - 3 2 , garantimos também as assíntotas, porém faremos os limites laterais de f x pra x → 3 tenderem ambos pra + ∞ , o que não é o dado do enunciado
  2. Se tentarmos algo do tipo f x = 1 x - 3 , apesar de garantirmos que os limites laterais darão infinitos diferentes, acharíamos lim x → 3 + ⁡ f x = ∞   ; lim x → 3 - ⁡ f x = - ∞ ao invés de lim x → 3 + ⁡ f x = - ∞   ; lim x → 3 - ⁡ f x = ∞ como o enunciado quer!

Passo 2

Boa galera, agora que temos um chute inicial que já garante pra gente 2 das 5 condições do enunciado, vamos pensar nas próximas condições. Veja que temos do enunciado:

f 2 = 0

Com o nosso chute, por enquanto, temos:

f 2 = 1 3 - 2 = 1 1 = 1

Pô, o denominador pra x = 2 vira 1 , o que facilita nossa vida. Mas o numerador é 1 ! Ele devia dar zero! Pra isso ser possível, que tal a modificação:

f x = 1 3 - x → f x = x - 2 3 - x

O gráfico fica:

Note que a escolha de f x = 2 - x 3 - x apesar de também garantir f 2 = 0 faria com que os limites laterais pra x → 3 se invertessem!!!

Passo 3

Beleza, vamos continuar. Veja que o limite:

lim x → ± ∞ ⁡ f x = 0

Implica que f x pode ser entendido como uma divisão de polinômios onde o do denominador tem grau maior! E mais! Nos mostra que y = 0 é uma assíntota horizontal! Além disso, o limite que falta a gente verificar:

lim x → 0 ⁡ f x = - ∞

Representa uma assíntota vertical! Portanto devemos modificar f x de forma a gerar essa assíntota vertical e ao mesmo tempo a fazer o grau do polinômio do denominador ser maior. Um bom primeiro chute é:

f x = x - 2 3 - x → f x = x - 2 x 3 - x

O gráfico fica:

Essa escolha inicial é um pouco problemática, pois apesar de termos garantido a nova assíntota vertical e a assíntota horizontal, achamos limites laterais diferentes pra x → 0 , e eramos pra achar limites iguais! Isso acontece porque:

lim x → 0 ⁡ x - 2 x 3 - x = lim x → 0 ⁡ x - 2 lim x → 0 ⁡ x 3 - x = - 2 lim x → 0 ⁡ x 3 - x = - 2 lim x → 0 ⁡ x ∙ lim x → 0 ⁡ 3 - x

lim x → 0 ⁡ x - 2 x 3 - x = - 2 lim x → 0 ⁡ x ∙ 3 = - 2 3 lim x → 0 ⁡ x

Note que o limite restante tem resultado diferente dependendo do caminho de aproximação de x pra 0 :

lim x → 0 ⁡ x = 0 + ,     s e   x → 0 + 0 - ,     s e   x → 0 -

E logo:

lim x → 0 - ⁡ x - 2 x 3 - x = - 2 3 lim x → 0 - ⁡ x = - 2 3 0 - = + ∞

lim x → 0 + ⁡ x - 2 x 3 - x = - 2 3 lim x → 0 + ⁡ x = - 2 3 0 + = - ∞

Então devemos fazer uma última modificação na nossa função pra resolver esse problema.

Passo 4

Veja que se fizermos:

f x = x - 2 x 3 - x → f x = x - 2 x 2 3 - x

Com gráfico:

Resolvemos nosso problema anterior. Afinal, a assíntota vertical x = 0 e a horizontal y = 0 continuam mantidas! A diferença é que o limite que calculamos passa a ser:

lim x → 0 ⁡ x - 2 x 2 3 - x = lim x → 0 ⁡ x - 2 lim x → 0 ⁡ x 2 3 - x = - 2 lim x → 0 ⁡ x 2 3 - x = - 2 lim x → 0 ⁡ x 2 ∙ lim x → 0 ⁡ 3 - x

lim x → 0 ⁡ x - 2 x 2 3 - x = - 2 lim x → 0 ⁡ x 2 ∙ 3 = - 2 3 lim x → 0 ⁡ x 2

Como:

lim x → 0 ⁡ x 2 = 0 + ,     s e   x → 0 + 0 + ,     s e   x → 0 -

E logo:

lim x → 0 - ⁡ x - 2 x 2 3 - x = - 2 3 lim x → 0 - ⁡ x 2 = - 2 3 0 + = - ∞

lim x → 0 + ⁡ x - 2 x 2 3 - x = - 2 3 lim x → 0 + ⁡ x 2 = - 2 3 0 + = - ∞

Então ta fechadinho! Nos certificamos de que os dois limites laterais pra x → 0 deram infinitos iguais e negativos, confirmando o limite do enunciado:

lim x → 0 ⁡ f x = - ∞

Ao multiplicarmos o f x do passo anterior por 1 x , modificamos a função aumentando o grau do polinômio no denominador, o que não atrapalha a gente em nada e o limite:

lim x → ± ∞ ⁡ f x = 0

Continua valendo! E era isso que faltava galera, afinal as outras 3 condições do enunciado

f 2 = 0 lim x → 3 + ⁡ f x = - ∞ lim x → 3 - ⁡ f x = ∞

Foram confirmadas no passo 1 e 2 . A expressão final de f x é:

f x = x - 2 x 2 3 - x

Resposta

f x = x - 2 x 2 3 - x

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