Enunciado

Mostre que a curva r = 2 - cossec ⁡ θ (também uma conchoide) tem a reta y = - 1 como uma assíntota horizontal mostrando que lim r → ± ∞  ⁡ y = - 1 . Use esse fato para ajudar a esboçar a conchoide.

Passo 1

Antes de tudo, o que é essa tal de assíntota?

Assintota é geralmente uma reta, que em um limite a função que eu tô analisando se aproxima deste valor. Um bom exemplo é a função y = 1 x

Podemos falar que a reta x = 0 é uma assíntota vertical pra essa função, pois no lim x + → 0 ⁡ f ( x ) essa função tente a se comportar como essa reta.

Assim como na questão anterior temos que provar uma assíntota. Desta vez vamos provar que y = - 1 , para isso precisamos provar o seguinte limite:

lim r → ± ∞  ⁡ y = - 1

Passo 2

Para calcular esse limite precisamos achar y em função de r , y = y r . Para isso vamos manipular a equação

r = 2 - cossec ⁡ θ

Sabemos que cossec ⁡ θ = 1 sen ⁡ θ , substituindo temos

r = 2 - 1 sen ⁡ θ

Agora precisamos usar y = r ⋅ sen ⁡ θ , isolando o sen ⁡ θ temos que sen ⁡ θ = y r , substituindo na equação

r = 2 - r y

Multiplicando a equação por y

y r = 2 y - r

Subtraindo 2 y de toda a equação temos

y r - 2 y = - r

Colocando agora y em evidencia

y r - 2 = - r

Por fim, dividindo a equação por r - 2 nós chegamos no nosso objetivo

y = - r r - 2

Passo 3

Vamos agora calcular o limite

lim r → ± ∞  ⁡ y = lim r → ± ∞  ⁡ - r r - 2

Colocando o r em evidencia do lado de baixo e simplificando com o r do numerador

lim r → ± ∞  ⁡ - r r 1 - 2 r = lim r → ± ∞  ⁡ - 1 1 - 2 r

E então temos nossa resposta para o limite

lim r → ± ∞  ⁡ - 1 1 - 2 r = - 1

Passo 4

Agora que sabemos que y = - 1 é uma assíntota para r = 2 - cossec ⁡ θ , precisamos saber como a função se comporta para ir ao plano.

Já em θ → 0 + temos uma indeterminação, já que sen ⁡ 0 = 0 . No limite

lim θ → 0 + ⁡ r = - ∞

Então a função aumenta até zerar em θ = π 6 onde a cossec ⁡ θ = 2 e então a função continua a aumentar até θ = π 2 onde a função vale 1 . Então ela começa a diminuir novamente ate zerar em θ = 5 π 6 e continua a diminuir até θ → π - onde temos outra indeterminação:

lim θ → π - ⁡ r = - ∞

No limite θ → π + a função assume outro valor

lim θ → π + ⁡ r = + ∞

E então vai diminuindo até chegar em 3 quando θ = 3 π 2 e começa a aumentar novamente chegando em outra indeterminação quando θ → 2 π -

lim θ → 2 π - ⁡ r = + ∞

E então reiniciando o cliclo.

Passo 5

No plano ficamos com algo assim:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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