Enunciado

A figura mostra um setor de um círculo com ângulo central θ . Seja A θ a área do segmento entre a corda PR e o arco PR. Seja B ( θ ) a área do triângulo PQR. Encontre lim θ → 0 + ⁡ A ( θ ) / B ( θ ) .

Passo 1

O exercício pede para calcularmos o limite da razão entre duas áres conforme o ângulo central do setor circular tende a 0 . Para isso, devemos achar expressões para as áres A ( θ ) e B θ como função de θ e daí calcular o limite.

Passo 2

Vamos achar uma expressão para A ( θ ) :

Essa área será dada pela área do setor circular subtraindo-se a área do triângulo OPR:

A θ = A s e t o r - A Δ O P R

Vamos achar primeiro a área do setor circular. Consideremos que o raio do setor circular vale R .

π R 2 2 π = A s e t o r θ

*A equação acima é uma simples regra de três: a área do criculo todo está para 2 π radianos, enquanto que área do setor está para θ .

Assim,

A s e t o r = θ 2   R 2

Calculemos agora a área do triângulo POR. Da trigonometria no triângulo retângulo OQP:

s e n   θ = Q P O P = Q P R   → Q P = R   s e n   θ

Assim, a área do triângulo OPR será:

A Δ O P R = b a s e ⋅ a l t u r a 2 = O R ⋅ Q P 2 = R ⋅ R   s e n   θ 2 = R 2   s e n   θ 2

Desta forma,

A θ = A s e t o r - A Δ O P R = θ 2   R 2 - R 2   s e n   θ 2 = R 2 2   θ - s e n   θ

Passo 3

Agora vamos procurar uma expressão para B ( θ ) .

Aplicando trigonometria de triângulo retângulo no triângulo OQP:

cos ⁡ θ = O Q O P = O Q R   → O Q = R cos ⁡ θ

Assim,

Q R = O R - O Q = R - R cos ⁡ θ = R   1 - cos ⁡ θ

Como já temos que Q P = R   s e n   θ , segue que B ( θ )

B θ = b a s e ⋅ a l t u r a 2 = Q R ⋅ Q P 2 = R 2   s e n   θ   ( 1 - cos ⁡ θ ) 2

Assim, a razão A ( θ ) / B ( θ ) será

A θ B θ = R 2 2   θ - s e n   θ R 2   s e n   θ   ( 1 - cos ⁡ θ ) 2 = θ - s e n   θ s e n   θ   ( 1 - cos ⁡ θ )

Passo 4

O limite que devemos calcular é

lim θ → 0 + ⁡ θ - s e n   θ s e n   θ   ( 1 - cos ⁡ θ )

Note que se trata de uma indeterminação do tipo 0/0, então podemos aplicar a regra de L’Hospital!!! A derivada do numerador será

θ - s e n   θ ' = 1 - cos ⁡ θ

Já para o denominador:

s e n   θ   1 - cos ⁡ θ ' = cos ⁡ θ   1 - cos ⁡ θ + s e n 2 θ = cos ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ = cos ⁡ θ - cos ⁡ 2 θ

*Usei que cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ = cos ⁡ 2 θ .

Assim, pela regra de L’Hospital:

lim θ → 0 + ⁡ θ - s e n   θ s e n   θ   1 - cos ⁡ θ = lim θ → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ θ cos ⁡ θ - cos ⁡ 2 θ

Seguimos com um indeterminação do tipo 0/0: vamos aplicar a regra de L’Hospital novamente:

lim θ → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ θ cos ⁡ θ - cos ⁡ 2 θ = lim θ → 0 + ⁡ s e n   θ - s e n   θ + 2 s e n   2 θ

Novamente temos uma indeterminação do tipo 0/0: L’Hospital de novo:

lim θ → 0 + ⁡ s e n   θ - s e n   θ + 2 s e n   2 θ = lim θ → 0 + ⁡ cos ⁡ θ - cos ⁡ θ + 4 cos ⁡ 2 θ = 1 - 1 + 4 = 1 3

Assim,

lim θ → 0 + ⁡ A ( θ ) B ( θ ) = 1 3

Resposta

1 / 3 .

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Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 + ⁡ s e n x ln ⁡ x
Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → - 2 ⁡x + 2 x 2 + 3 x
Calcule. lim x → 1 - ⁡ e 1 x 2 - 1 x - 1
Para que valores de a e b temos l i m x → 0 t g 2 x x 3 + a x 2 + s i n ( b x ) x
Encontre o limite. Use a regra de l’Hopital quando apropriado. Caso exista mais um método mais comum, use-o. Caso a regra de l’Hopital não se aplique, explique o porque. lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 tan - 1