Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 92
Seja
a) Mostre que é contínua em .
b) Pesquise graficamente se é derivável em por meio de sucessivos zooms em direção ao ponto no gráfico de .
c) Mostre que não é derivável em .
Passo 1
Basicamente, o que o exercício pede é que mostremos que a função é contínua mas não derivável em . Apesar disso, no item (b) devemos fazer uma análise baseada na visualização do gráfico: se a função for derivável, ela deve ser contínua e suave. Para isso, damos zoom em torno do ponto de interesse e analisamos como a função se comporta.
Passo 2
Para que a função seja contínua em um ponto, o valor da função neste ponto deve coincidir com o valor do limite. Note que . Para tomarmos o limite quando , devemos tomar , de modo que . Assim,
Desta forma, o limite que demos calcular é
Este limite é indeterminado do tipo . Assim, aplicando a regra de L’Hospital:
Fazemos separar em limites laterais:
Como os limites laterais são iguais,
Desta forma, . Portanto é contínua em .
Passo 3
Fazendo sucessivos zooms no gráfico da função, ela aparenta ser derivável em :
Passo 4
Vimos que a função aparenta ser derivável em , porém agora vamos mostrar que ela não é!!!
Vamos tentar calcular pela definição:
Como , o limite é indeterminado do tipo 0/0. Vamos aplicar a regra de L’Hospital. A derivada do numerador será
Por outro lado:
Assim,
Desta forma,
Quando , , , e . Assim, é possível perceber que o limite vai explodir:
Por isso, não é derivável em pois tem tangente vertical nesse ponto (por isso parecia que ela era derivável: ela é suave e admite reta tangente, mas a tangente é vertical).
Resposta
a) Demonstração.
b) Análise gráfica.
c) Demonstração.