Enunciado

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 ⁡ c o t g   x - 1 x

Passo 1

Devemos calcular o limite usando, se for possível, a regra de L’Hospital. É importante lembrar que só podemos usar essa regra se o limite for indeterminado do tipo 0/0 ou / .

Eu sei que agora que você sabe a regra de L’Hospital você vai querer usar ela toda hora, mas tome cuidado, ela pode ser traiçoeira: se der, evite usá-la!!!

Passo 2

Usando que c o t g   x = cos ⁡ x / s e n   x , podemos escrever

lim x → 0 ⁡ c o t g   x - 1 x = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x s e n   x - 1 x = lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x - s e n   x x   s e n   x

O limite é indeterminado da forma 0/0, de modo que a regra de L’Hospital é aplicável!!!

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hospital:

lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x - s e n   x x   s e n   x = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - x   s e n   x - cos ⁡ x s e n   x + x cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ - x   s e n   x s e n   x + x cos ⁡ x

O limite segue indeterminado do tipo 0/0.

Passo 4

Aplicando a regra novamente:

lim x → 0 ⁡ - x   s e n   x s e n   x + x cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ - s e n   x - x cos ⁡ x cos ⁡ x + cos ⁡ x - x   s e n   x = - 0 - 0 1 + 1 - 0 = 0

Resposta

0 .

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Calcule o limite, se ele existir. lim x → 0 ⁡ s e n hx - s e nx s e n 3x .
Calcule o limite, se ele existir. lim x → ∞ ⁡ 1 x 2 - 2t g - 11 x 1 x .
Ache os valores para a e b tais que lim x → 0 ⁡ s e n3 x + a x + b x 3 x 3 = 0
Prove que l n ( x )x p , para todo p0 e para x suficientemente grande, calculando: lim x → + ∞ ⁡ l n ⁡ ( x ) x p
Prove a regra de Cauchy.