Enunciado

Encontre os limites quando   x → ∞ e quando x → - ∞ Use essa informação, bem como as intersecções com os eixos, para fazer um esboço do gráfico, como no Exemplo 12.

y = 2 x 3 - x 4

Passo 1

Bom, a primeira coisa que a gente pode fazer aí é fatorar pra ficar mais fácil. Temos que:

2 x 3 - x 4 = x 3 ( 2 - x )

Beleza, agora a gente tem um produto de polinônimos.

O problema pede a interseção com os eixos e os limites com x tendendo a mais e menos infinito. Vamos fazer um por um...

Passo 2

lim x → ∞ ⁡ x 3 ( 2 - x )

Olha só, imagina que você tem um número muito grande elevado ao cubo (fica positivo) multiplicado por 2 menos esse número grandão. Dentro do parêntese vai fica negativo né? Tipo: 2 - ∞ =   - ∞

Então, nosso produto vai dar negativo e teremos que:

lim x → ∞ ⁡ x 3 2 - x =   - ∞

Ou seja, quanto mais o valor de x cresce, mais a nossa função decresce.

Passo 3

Vamos ver o contrário agora:

lim x → - ∞ ⁡ x 3 ( 2 - x )

Bom, aqui é o contrário né?! Vamos ter um número muito pequeno elevado a 3, (que vai dar - ∞ ) multiplicado por 2 - - ∞ = 2 + ∞ = ∞   ...

Então vamos ter negativo multiplicado por positivo, o que nos leva a concluir que:

lim x → - ∞ ⁡ x 3 ( 2 - x ) =   - ∞

Quanto menor o x , menor a função.

Passo 4

Só falta as interseções com os eixos agora. Vamos lá:

  • Eixo x → x 3 2 - x = 0 → x = 0   o u   2 - x = 0 → x = 2
  • Então, a função intersecta o eixo x   em x = 0 e x = 2

  • Eixo y → 0 3 2 - 0 = 0

A interseção com y   então é no ponto ( 0,0 )

Passo 5

Juntando essas informações, a gente monta o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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