Enunciado

Encontre os números críticos da função.

F (x) = x^((4)/(5)) (x - 4)^2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que vem a ser esse tal de “numero critico”. Bom, caro leitor, um numero critico é nada mais, nada menos que um numero c no domínio de f onde f ' (c) = 0 ou f ' ( c ) não existe. Certinho??

Usando a regra do produto, temos

F^' (x) = x^((4)/(5)) 2 (x - 4) + (4)/(5) x^(- (1)/(5)) (x - 4)^2

Resolvendo isso,

F^' (x) = (1)/(5) x^(- (1)/(5)) [ 5 xx 2 xx x + (x - 4) xx 4 ]

F^' (x) = (1)/(5 x^((1)/(5))) (x - 4) ( 14 x - 16 )

F^' (x) = (1)/(5 x^((1)/(5))) 2 (x - 4) ( 7 x - 8 )

Percebemos que F ' ( 0 ) não existe então x = 0 é um numero critico!!

Reorganizando, podemos ter

0 = ((2 x - 8) ( 7 x - 8 ))/(5 x^((1)/(5)))

Lembrando que se o numerador é racional então deve ser igual a 0.

Calculando as equações temos,

  • 2 x - 8 = 0 :. x = 4
  • 7 x - 8 = 0 :. x = (8)/(7)

Esses serão os outros números críticos

Resposta

x = 0 , x = 4 e x = (8)/(7)

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