Enunciado

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Encontre o ponto sobre a reta y = 4 x + 7 que está mais próximo da origem.

Passo 1

Temos que a distância de um ponto a outro é dada por

D = x - x 0 2 + y - y 0 2

Como o problema pede a distância até a origem, temos

D = x - 0 2 + y - 0 2 = x 2 + y 2

Porém, podemos trabalhar com o quadrado da distância, daí ficamos com

D = x 2 + y 2

Do enunciado, temos que y = 4 x + 7 , daí

D = x 2 + 4 x + 7 2

D = x 2 + 16 x 2 + 56 x + 49 = 17 x 2 + 56 x + 49

Passo 2

Para encontrarmos a distância mínima, basta derivarmos e igualarmos a zero, daí

D ' = 34 x + 56

34 x + 56 = 0

x = - 56 34 = - 28 17

Agora, encontrando y

y = 4 ⋅ - 28 17 + 7 = - 112 17 + 119 17 = 7 17

Então, encontramos o ponto

x , y = - 28 17   , 7 17

Resposta

O ponto sobre a reta mais próximo da origem é o ponto - 28 / 17   ,     7 / 17

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