Enunciado

Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.

r 2 = sen ⁡ 2 θ

Passo 1

Para calcular a inclinação da reta tangente basta usar a fórmula:

d y d x = d r d θ sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ d r d θ cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Para achar os pontos onde a tangente é horizontal é necessário que:

d y d θ = 0   e   d x d θ ≠ 0

Para achar os pontos onde a tangente é vertical é necessário que:

d x d θ = 0   e   d y d θ ≠ 0

Passo 2

Para isso vamos achar o que é y ( θ )

y = r sen ⁡ θ

Antes de substituir, precisamos achar o r

r 2 = sen ⁡ 2 θ

Aplicando a raiz quadrada em ambos os lados

r = sen ⁡ 2 θ

Substituindo r = sen ⁡ 2 θ  

y = sen ⁡ 2 θ sen ⁡ θ

Agora achando x ( θ ) , substiruindo r = sen ⁡ 2 θ

x = r cos ⁡ θ

x = sen ⁡ 2 θ cos ⁡ θ

Passo 3

Para achar as tangentes horizontais, vamos derivar y = sen ⁡ 2 θ sen ⁡ θ

d y d θ = 1 2 sen ⁡ 2 θ 2 cos ⁡ 2 θ sen ⁡ θ + sen ⁡ 2 θ cos ⁡ θ

Igualando a zero

d y d θ = 0

1 2 sen ⁡ 2 θ 2 cos ⁡ 2 θ sen ⁡ θ + sen ⁡ 2 θ cos ⁡ θ = 0

Multiplicando equação por sen ⁡ 2 θ

1 2 2 cos ⁡ 2 θ sen ⁡ θ + sen ⁡ 2 θ 2 cos ⁡ θ = 0

cos ⁡ 2 θ sen ⁡ θ + sen ⁡ 2 θ cos ⁡ θ = 0

E essa equação é uma soma de ângulos dentro do seno

sen ⁡ ( a + b ) = sen ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ b cos ⁡ a

Onde a = θ e b = 2 θ

Então,

cos ⁡ 2 θ sen ⁡ θ + sen ⁡ 2 θ cos ⁡ θ = 0

sen ⁡ ( θ + 2 θ ) = 0

sen ⁡ 3 θ = 0

E o seno zera para os ângulos 0 e π

3 θ 1 = 0

θ 1 = 0

3 θ 2 = π

θ 2 = π 3

Passo 4

Para achar as tangentes verticais, vamos derivar x = sen ⁡ 2 θ cos ⁡ θ

d x d θ = 1 2 sen ⁡ 2 θ 2 cos ⁡ 2 θ cos ⁡ θ + sen ⁡ 2 θ ( - sen ⁡ θ )

Igualando a zero

d x d θ = 0

1 2 sen ⁡ 2 θ 2 cos ⁡ 2 θ cos ⁡ θ + sen ⁡ 2 θ ( - sen ⁡ θ ) = 0

Multiplicando a equação por sen ⁡ 2 θ

1 2 2 cos ⁡ 2 θ cos ⁡ θ - sen ⁡ 2 θ sen ⁡ θ = 0

cos ⁡ 2 θ cos ⁡ θ - sen ⁡ 2 θ sen ⁡ θ = 0

E isso é uma soma de ângulos dentro do cosseno

cos ⁡ θ + 2 θ = 0

cos ⁡ 3 θ = 0

O cosseno zera nos ângulos π 2 e 3 π 2 , então

3 θ 3 = π 2

θ 3 = π 6

3 θ 4 = 3 π 2

θ 4 = π 2

Passo 5

Como não tivemos ângulos que tiveram d y d θ = 0 e   d x d θ = 0 , todos os ângulos que achamos serão pontos críticos.

Para finalizar agora e sabermos os pontos exatos, basta calcular r para cada θ achado.

Para tangentes horizontais, com   θ 1 = 0 e θ 2 = π 3

r 1 = sen ⁡ 0 = 0

r 2 = sen ⁡ 2 π 3 = 3 2  

Então os pontos que tem tangentes horizontais, no formato ( r , θ ) são 0 , 0 e 3 2 , π 3 .

Para tangentes verticais, com θ 3 = π 6 e θ 4 = π 2

r 3 = sen ⁡ 2 π 6 = sen ⁡ π 3 = 3 2

r 4 = sen ⁡ 2 π 2 = sen ⁡ π = 0

Então os pontos que tem tangentes verticais, no formato ( r , θ ) são 3 2 , π 6 e 0 , π 2 .

Resposta

Horizontais: 0 , 0 e 3 2 , π 3 .

Verticais: 3 2 , π 6 e 0 , π 2 .

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