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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 1 ∞ 2 x - 1 n 5 n n

Passo 1

Para encontrarmos o raio de convergência, o primeiro passo é aplicar o teste da razão.

Temos que

a n = 2 x - 1 n 5 n n

Então, fazemos

a n + 1 = 2 x - 1 n + 1 5 n + 1 n + 1

Passo 2

Assim,

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 x - 1 n + 1 5 n + 1 n + 1 ⋅ 5 n n 2 x - 1 n = lim n → ∞ ⁡ | 2 x - 1 | 5 n n + 1   = lim n → ∞ ⁡ | 2 x - 1 | 5 n n + 1 / n = | 2 x - 1 | 5

Passo 3

Pelo teste da razão, a série ∑ n = 1 ∞ 2 x - 1 n 5 n n

Converge quando

| 2 x - 1 | 5 < 1   ⇔   2 x - 1 < 5 ⇔ | x - 1 2 < 5 2 ⇔   - 5 2 < x - 1 2 < 5 2 ⇔   - 2 < x < 3

Passo 4

Então, o raio de convergência

R = 5 2

Agora vamos verificar os pontos de extremidade, ou seja,

Quando

x = 3

A série ∑ n = 1 ∞ 1 n , é divergente pela p-série, com p = 1 2 < 1

Quando

x = - 2

A série ∑ n = 1 ∞ - 1 n n converge pelo teste das séries alternadas.

Então, o intervalo de convergência é:

I = [ - 2,3 )

Resposta

R = 5 2

I = [ - 2,3 )

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