Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ x n n !

Passo 1

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 ! x n n ! = lim n → ∞ ⁡ x n ∙ x n + 1 ∙ n ! ∙ n ! x n = x ∙ lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 = 0

Passo 2

Opa! Nosso limite deu zero para qualquer valor de x .

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para todo e qualquer x ∈ R . Nosso raio de convergência será então R = ∞ e nosso intervalo de convergência será I = ( - ∞ , ∞ )

Resposta

R = ∞   e   I = ( - ∞ , ∞ )

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