Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ x n n

Passo 1

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências ∑ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 1 ∞ x n n , ou seja, precisamos calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 x n n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 ∙ n x n = lim n → ∞ ⁡ x n ∙ x n + 1 ∙ n x n = x ∙ lim n → ∞ ⁡ n n + 1

Passo 2

Opa! Esse nosso limite vale:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = x ∙ lim n → ∞ ⁡ n n + 1 = x

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para x < 1 . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência R = 1 .

Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série converge para o intervalo ( - 1,1 ) em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( x = - 1 e x = 1 )? É o que vamos calcular agora.

Passo 3

Quando x = - 1 , ficamos com a série ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n n , que, pelo Teste da Série Alternada, é uma séire convergente.

Já para x = 1 , ficamos com a série ∑ n = 1 ∞ 1 n , uma p-série com p = 1 / 2 e que, portanto, diverge.

Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por I = [ - 1,1 )

Resposta

R = 1   e   I = [ - 1,1 )

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