Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ n ! 2 x - 1 n

Passo 1

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ! 2 x - 1 n + 1 n ! 2 x - 1 n = lim n → ∞ ⁡ ( 2 x - 1 ) n ∙ 2 x - 1 ∙ n + 1 ∙ n ! ( 2 x - 1 ) n ∙ n !

Resolvendo o limite acima, temos:

lim n → ∞ ⁡ ( 2 x - 1 ) n ∙ 2 x - 1 ∙ n + 1 ∙ n ! ( 2 x - 1 ) n ∙ n ! = 2 x - 1 ∙ lim n → ∞ ⁡ n + 1 = ∞

Passo 2

Opa! Nosso limite deu infinito para qualquer valor de x , indicando que a nossa série não convergirá para qualquer valor de x a não ser quando 2 x - 1 = 0 , ou seja, quando x = 1 2 . Desta forma, nosso raio de convergência será R = 0 e nosso intervalo de convergência será I = 1 2 .

Resposta

R = 0   e   I = 1 2

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