Enunciado

Uma partícula move-se de acordo com os dados que seguem. Encontre a posição da partícula.

a t = 10 + 3 t - 3 t 2 ,           s 0 = 0 ,       s 2 = 10

Passo 1

A aceleração é a segunda derivada da posição:

a t = s ' ' ( t )

Para chegar à posição a partir da aceleração, então fazemos o caminho contrário: aplicamos duas vezes a antiderivada. Primeiro aplicamos a antiderivada para encontrar s ' ( t ) , a velocidade. Depois fazemos o processo novamente, para chegar na posição s ( t ) .

Passo 2

Primeiramente encontramos v t = s ' ( t ) achando a antiderivada da aceleração. A antiderivada de uma potência de x diferente de x - 1 é dada pela fórmula:

f ' x = x n ⇒ f x = x n + 1 n + 1 + C

Então:

a t = s ' ' t = 10 + 3 t - 3 t 2

⇒ v t = s ' t = 10 t + 3 t 2 2 - 3 t 3 3 + C

⇒ v t = s ' t = 10 t + 3 t 2 2 - t 3 + C

Passo 3

Agora achamos a antiderivada da velocidade, que é a posição:

s ' t = v t = 10 t + 3 t 2 2 - t 3 + C

⇒ s t = 10 t 2 2 + 3 2 t 3 3 - t 4 4 + C t + D

= 5 t 2 + t 3 2 - t 4 4 + C t + D

Agora aplicamos as condições dadas no enunciado para achar C e D :

s 0 = 0 ⇒ D = 0

s 2 = 10 ⇒ 5 2 2 + 2 3 2 - 2 4 4 + 2 C = 10

⇒ 20 + 4 - 4 + 2 C = 10 ⇒ 2 C = - 10 ⇒ C = - 5

Então temos finalmente a função posição:

s t = 5 t 2 + t 3 2 - t 4 4 - 5 t

Resposta

s t = 5 t 2 + t 3 2 - t 4 4 - 5 t

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